Kvadratura kruhu

Z Multimediaexpo.cz

Kvadratura kruhu je jeden ze tří nejslavnějších antických konstrukčních problémů (zbylé dva jsou duplikace krychle a trisekce úhlu; souhrnně jsou nazývány Tři klasické problémy antické matematiky). Tyto problémy byly formulovány již v 5. století př. n. l. a odolávaly po dlouhá staletí všem pokusům o vyřešení, než bylo v 19. století dokázáno, že jsou neřešitelné.

Obsah [skrýt] 1 Přesné zadání úlohy 2 Historie 3 Důkaz neřešitelnosti 4 Související články 5 Externí odkazy

Přesné zadání úlohy

Obecné zadání úlohy kvadratura kruhu zní v jazyce moderní matematiky takto:

Nalezněte obecnou euklidovskou konstrukci, pomocí níž bude možné v konečném počtu kroků zkonstruovat čtverec o stejném obsahu, jako má daný kruh.

Poněkud méně formálně:

K danému kruhu zkonstruujte čtverec o stejném obsahu pouze za užití pravítka a kružítka.

Historie

Problém je zřejmě tak starý jako geometrie sama a zaměstnával matematiky po celá tisíciletí. Ačkoli jeho neřešitelnost byla spolehlivě dokázaná až roku 1882, už starověcí geometři měli velmi dobrou představu o jeho špatné uchopitelnosti. Hlavní překážkou je použití kružítka a pravítka bez stupnice. Pokud použijeme například pravítko se stupnicí, nebo třeba něco, co umí nakreslit Archimédovu spirálu, pak není příliš obtížné se s úlohou vypořádat.

Důkaz neřešitelnosti

Řešení vyžaduje geometrické sestrojení čísla $\sqrt{\pi }$. Problém je, že toto číslo je transcendentní. Neboli není algebraické, a tudíž nemůže být ani sestrojitelné. Transcendentnost čísla π byla dokázána roku 1882 Ferdinandem von Lindemannem. Pokud by se někomu podařilo vyřešit kvadraturu kruhu, našel by také nutně algebraickou hodnotu $\pi$, což je nemožné. Nicméně je možné sestrojit čtverec s obsahem libovolně blízkým obsahu daného kruhu.

Pokud se použije racionální aproximace čísla $\pi$, kvadratura je možná. Toto je však pouze přibližné řešení, které nesplňuje původní zadání problému. Je samozřejmé, že čím přesnější aproximace čísla $\pi$ se použije, tím přesnější řešení získáme. Matematici již předvedli množství postupů, které k takovémuto přibližnému výsledku vedou.

Pokud se původní zadání oslabí v tom, že se povolí nekonečný počet kroků při konstrukci, potom je kvadratura také možná.

I když kvadratura kruhu je neuskutečnitelná v Euklidově prostoru, je možná v Gaussově-Bolyaiově-Lobačevského prostoru.

Související články

• Trisekce úhlu
• Duplikace krychle

Externí odkazy

• Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles (anglicky)
• Math World (anglicky)

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii