Kvadratura kruhu

Z Multimediaexpo.cz

Kruh a čtverec o stejném obsahu

Kvadratura kruhu je jeden ze tří nejslavnějších antických konstrukčních problémů (zbylé dva jsou duplikace krychle a trisekce úhlu; souhrnně jsou nazývány Tři klasické problémy antické matematiky). Tyto problémy byly formulovány již v 5. století př. n. l. a odolávaly po dlouhá staletí všem pokusům o vyřešení, než bylo v 19. století dokázáno, že jsou neřešitelné.

Přesné zadání úlohy

Obecné zadání úlohy kvadratura kruhu zní v jazyce moderní matematiky takto:

Nalezněte obecnou euklidovskou konstrukci, pomocí níž bude možné v konečném počtu kroků zkonstruovat čtverec o stejném obsahu, jako má daný kruh.

Poněkud méně formálně:

K danému kruhu zkonstruujte čtverec o stejném obsahu pouze za užití pravítka a kružítka.

Historie

Problém je zřejmě tak starý jako geometrie sama a zaměstnával matematiky po celá tisíciletí. Ačkoli jeho neřešitelnost byla spolehlivě dokázaná až roku 1882, už starověcí geometři měli velmi dobrou představu o jeho špatné uchopitelnosti. Hlavní překážkou je použití kružítka a pravítka bez stupnice. Pokud použijeme například pravítko se stupnicí, nebo třeba něco, co umí nakreslit Archimédovu spirálu, pak není příliš obtížné se s úlohou vypořádat.

Důkaz neřešitelnosti

Řešení vyžaduje geometrické sestrojení čísla \(\sqrt{\pi}\). Problém je, že toto číslo je transcendentní. Neboli není algebraické, a tudíž nemůže být ani sestrojitelné. Transcendentnost čísla π byla dokázána roku 1882 Ferdinandem von Lindemannem. Pokud by se někomu podařilo vyřešit kvadraturu kruhu, našel by také nutně algebraickou hodnotu \(\pi\), což je nemožné. Nicméně je možné sestrojit čtverec s obsahem libovolně blízkým obsahu daného kruhu.

Pokud se použije racionální aproximace čísla \(\pi\), kvadratura je možná. Toto je však pouze přibližné řešení, které nesplňuje původní zadání problému. Je samozřejmé, že čím přesnější aproximace čísla \(\pi\) se použije, tím přesnější řešení získáme. Matematici již předvedli množství postupů, které k takovémuto přibližnému výsledku vedou.

Pokud se původní zadání oslabí v tom, že se povolí nekonečný počet kroků při konstrukci, potom je kvadratura také možná.

I když kvadratura kruhu je neuskutečnitelná v Euklidově prostoru, je možná v Gaussově-Bolyaiově-Lobačevského prostoru.

Související články

Externí odkazy

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii