Heavisideova funkce
Z Multimediaexpo.cz
Heavisideova funkce (také jednotkový skok) je nespojitá funkce, jejíž hodnota je nulová pro zápornou hodnotu argumentu a rovna jedné pro kladnou hodnotu argumentu. Hodnota funkce pro nulový argument není podstatná a proto je různými autory definována odlišně (viz níže).
Často se používá v teorii řízení a při zpracování signálu, kde slouží k reprezentaci jednorázové změny signálu. Pojmenována byla po anglickém učenci Oliveru Heavisideovi.
Obsah |
Definice
Heavisidova funkce (s parametrem p) se definuje předpisem:
- \(H_p(x) = \left\{ \begin{matrix} 0 & \mbox{ pro }x<0 \\ p & \mbox{ pro }x=0 \\ 1 & \mbox{ pro }x> 0 \end{matrix}\right.\),
kde 0 ≤ p ≤ 1 je reálné číslo určující hodnotu funkce v bodě 0 (platí \(p = H_p(0)\)).
Index p je většinou volen pevně a v zápise se vynechává. Heavisidova funkce se potom značí pouze H(x).
Hodnota v nule
Parametr \(p\) z definice funkce se nejčastěji volí jako 0, 1/2 nebo 1. Pro hodnotu 1/2 svědčí symetrie výsledné funkce a fakt, že hodnota zpětné transformace Fourierova obrazu funkce v bodech nespojitosti je aritmetický průměr limit zleva a zprava. Důvodem jiné volby může být praktičnost při jistých způsobech použití. V mnoha případech na hodnotě v nule vůbec nezáleží, např. integrujeme-li složený výraz s touto funkcí, neboť Lebesgueova míra množiny \(\{0\}\) je nulová.
Nastavíme-li \(p=H(0)=1/2\), můžeme definovat funkci pomocí znaménkové funkce (signum):
- \(H(x) = \frac{1+sgn(x)}{2}\)
Pro případ, kdy \(p=1\) nebo \(p=0\) můžeme též chápat Heavisideovu funkci takto: \(H_1 = \chi_{\langle 0, \infty)}\) respektive \(H_0 = \chi_{(0, \infty)}\) kde \(\chi_M\) značí charakteristickou funkci množiny \(M\).
Vlastnosti
Mezi jednotkovým skokem a Diracovou funkcí existuje vztah, který lze zapsat jako
- \(H(x) = \int_{-\infty}^x \delta(t)\mathrm{d}t\)
Derivací Heavisideovy funkce je tedy Diracova delta funkce, primitivní funkcí je tzv. náběhová funkce.
Související články
Externí odkazy
- MathWorld, Heaviside Step Function: Mathworld.wolfram.com (anglicky)
- MathWorks, Heaviside: Mathworks.com (anglicky)
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |