Goldbachova hypotéza

Z Multimediaexpo.cz

Graf znázorňující počet způsobů, kterými lze dané číslo n rozložit na součet dvou prvočísel (pro 4≤n≤1 000 000)

Goldbachova hypotéza je jeden z nejstarších a nejslavnějších dosud nevyřešených problémů matematiky, který spadá do teorie čísel. Zní následovně:

Každé sudé číslo větší než 2 lze vyjádřit jako součet dvou prvočísel.

Poprvé byla tato hypotéza formulována v korespondenci mezi matematiky Christianem Goldbachem a Leonhardem Eulerem v roce 1742. Dosud po více než 270 letech marných pokusů o její dokázání není známo, zda platí anebo je rozhodnutelná. Většina matematiků se ale přiklání k názoru, že toto tvrzení platí.

Z historie

V první polovině 17. století napsal akademik Christian Goldbach z Petrohradu svému příteli Leonhardu Eulerovi, největšímu matematiku všech dob:

„Poslyšte velmi zajímavý úkol. Vezmu libovolné číslo větší než 5, např. 77. Můžeme je vždy vyjádřit jako součet tří prvočísel: 77 = 53 + 17+ 7. Zvolím ještě jiný příklad, číslo 461. Opět platí 461 = 449 + 7 + 5, atd. Jak dokážeme, že to platí pro každé číslo? Libovolná zkouška tento výsledek potvrzuje, jenže život nestačí k tomu, abychom probrali všechna lichá čísla. Potřebujeme obecný důkaz a ne zkoušky.“

Euler na dopis odpověděl, že Goldbachův problém je správný, i odpověď je správná, ale důkaz se mu nepodařilo nalézt. Naopak objevil novou věc, nazvanou od těch dob Eulerův problém: Každé sudé číslo, počínaje čtyřkou, můžeme vyjádřit jako součet dvou prvočísel. Jenže ani tento zákon se mu nepodařilo obecně dokázat a pozdější rozbory ukázaly, že důkaz Eulerova problému je mnohem obtížnější než důkaz Goldbachova problému. Oba tyto problémy vzdorovaly dvě stě let úsilí mnohých matematiků.

Teprve roku 1937 se důkaz Goldbachova problému podařil sovětskému matematiku Vinogradovu, který dokázal, že v přirozené řadě čísel existuje jisté veliké číslo, za nímž všechna ještě větší lichá čísla se mohou rozložit na součty tří prvočísel.^[1] Odpověď na otázku, jak velká musí být čísla, aby tento důkaz platil, našel sovětský matematik Borozdkin. Určil hranici a všechna menší čísla už snadno prověřili matematikové Cantor a jiní, takže důkaz je úplný.

Eulerův problém však dosud čeká na důkaz. Přinese svému řešiteli světovou slávu, úměrnou obtížím, jež bude třeba překonat.^[2]

Související články

• Hypotéza prvočíselných dvojic

Reference

1. ↑ KASIMOV, A. M.. K rešeniju additivnych zadač s prostymi čislami [online]. 2. vyd. [cit. 2016-10-13]. S. 71 - 76. Dostupné online. (rusky) 
2. ↑ DOBROVOLNÝ, B.. Nové matematické rekreace. Redakce Ing. J. Strouhal, Ludmila Vondráčková; ilustrace Miroslav Houska. 1. vyd. Praha : Práce - vydavatelství a nakladatelství ROH, 1967. 160 s. 24-079-67. S. 67.  

Externí odkazy

• Goldbachova hypotéza