Fareyova posloupnost

Z Multimediaexpo.cz

Fareyova posloupnost řádu n je posloupnost zlomků mezi 0 a 1, které jsou jednak v základním tvaru, a které mají ve jmenovateli číslo menší nebo rovné n. Například pro n=5 tedy vypadá takto:

F₅ = {⁰⁄₁, ¹⁄₅, ¹⁄₄, ¹⁄₃, ²⁄₅, ¹⁄₂, ³⁄₅, ²⁄₃, ³⁄₄, ⁴⁄₅, ¹⁄₁}

Je pojmenována po britském geologovi Johnu Fareyovi st., který si všiml, že nové členy v posloupnosti F_n lze získat z řady F_n-1 jako mediant dvou sousedních členů. Důkaz tohoto pozorování však podal až Cauchy.

Vlastnosti

Délka

Máme-li k dispozici Eulerovu funkci φ, můžeme délku n-té Fareyovy posloupnosti snadno vyjádřit jako

\(|F_n| = |F_{n-1}| + \phi (n).\)

Asymptoticky lze velikost n-tého prvku posloupnosti odhadnout jako

\(|F_n| \sim \frac {3n^2}{\pi^2}.\)

Externí odkazy

• Druhá kapitola – skript Martina Klazara, Kaleidoskop teorie čísel (PS soubor)

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii