Diracova notace

Z Multimediaexpo.cz

Diracova notace (nebo také Diracova symbolika) je způsob zápisu vektorů běžně používaný v kvantové mechanice a kvantové teorii pole. Jde o zápis vektorů v Hilbertově prostoru, který zavedl Paul Dirac. Symbolika je též známá jako braketová.

Definice

Vektor a je označován symbolem $| a ⟩$ . Protože jsme v prostoru se skalárním součinem $(\cdot, \cdot)$ , je dobře definován duální vektor $a^{*} = (a, \cdot)$ a značí se $⟨ a |$ . Vektory se nazývají ket-vektory a duální vektory bra-vektory. Jde o slovní hříčku, protože akce bra-vektoru $⟨ a |$ na ket-vektor $| b ⟩$ je podle definice jejich skalární součin $⟨ a | b ⟩ = (b, a)$ , což se anglicky říká bracket (závorka) (obvykle uvažujeme komplexní prostory a od skalárního součinu očekáváme linearitu v b a anti-linearitu v a).

Pokud souřadnice vektoru $| a ⟩$ jsou v nějaké ortonormální bázi

| a ⟩ = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ ⋮ \\ a_{n} \end{matrix}),

pak souřadnice vektoru $⟨ a |$ v duální bázi jsou $⟨ a | = (a_{1}^{*}, a_{2}^{*}, \dots, a_{n}^{*})$ (* označuje komplexní sdružení). Za daných předpokladů můžeme také říct, že $⟨ a |$ je hermiteovsky sdružený vektor k $| a ⟩$ .

Použití

Obsah

[skrýt]

1 Definice
2 Použití
3 Související články
4 Externí odkazy

Diracova symbolika je výhodná proto, že je možné zapsat operátor, jeho vlastní čísla a vektory pomocí jednoho symbolu, např.

\hat{L} | L ⟩ = L | L ⟩

,

kde $\hat{L}$ je operátor, $L$ představuje jeho vlastní číslo a $| L ⟩$ jeho vlastní vektor.

V případě diskrétních vlastních hodnot má předchozí vztah tvar

\hat{L} | L_{n} ⟩ = L_{n} | L_{n} ⟩ = L_{n} | n ⟩

Pro hermiteovský operátor $\hat{A}$ , tzn. ${\hat{A}}^{+} = \hat{A}$ , pro který platí

\hat{A} | f ⟩ = | g ⟩

pak také platí

⟨ g | = {(| g ⟩)}^{+} = {(\hat{A} | f ⟩)}^{+} = {(| f ⟩)}^{+} {\hat{A}}^{+} = ⟨ f | \hat{A}

Hermiteovské operátory tedy působí na ket-vektory zleva a na bra-vektory zprava a tyto akce jsou stejné (ve smyslu ztotožnění vektorů a duálů).

Mnoho formulí z lineární algebry se dá v Diracově notaci zapsat velmi přehledně. Například operátor ortogonální projekce na prostor, který má ortonormální bázi $| e_{1} ⟩, \dots, | e_{k} ⟩$ se dá napsat jako $\sum_{i} | e_{i} ⟩ ⟨ e_{i} |$ (součin ket-vektoru a bra-vektoru je lineární operátor).

Související články

Externí odkazy

Diracova notace v encyklopedii MathWorld (anglicky)

Commons nabízí fotografie, obrázky a videa k tématu
Diracova notace

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii