Gravitační potenciál

Z Multimediaexpo.cz

Gravitační potenciál je skalární fyzikální veličina, která vyčísluje potenciální energii tělesa o jednotkové hmotnosti (v jednotkách SI 1 kg) v gravitačním poli ostatních těles. Za místo s nulovým potenciálem se obvykle bere nekonečně vzdálený bod. Hodnota gravitačního potenciálu je proto záporná.

Protože gravitační potenciál vyjadřuje měrnou energii, je jeho jednotkou v soustavě SI joule na kilogram (J/kg).

Gradientem gravitačního potenciálu je gravitační zrychlení.

Obsah

Gravitační potenciál hmotného bodu a kulově souměrného tělesa

Gravitační potenciál hmotného bodu je v newtonovské fyzice vyjádřen vzorcem

<math>\phi(r) = -\frac{GM}{r},</math>
  • <math>G</math> je gravitační konstanta (někdy označována také <math>\kappa</math>)
  • <math>M</math> je hmotnost hmotného bodu
  • <math>r</math> je vzdálenost od hmotného bodu

Stejný vzorec platí (přesně) i pro gravitační potenciál vně sféricky symetrického tělesa (nad jeho povrchem), r pak vyjadřuje vzdálenost od středu takového tělesa. Proto lze například v astronomii nahradit ve výpočtech kosmická tělesa hmotnými body.

Gravitační potenciál sféricky symetrické kulové slupky je v dutině této slupky všude stejný. Gravitační zrychlení a tedy i tíha, způsobené touto slupkou, jsou proto uvnitř nulové. To umožňuje spočítat gravitační potenciál pod povrchem planet: pro výpočet se zahrne jen hmota planety, mající větší hloubku, než místo, pro nějž se potenciál počítá (Přesně to však platí pouze tehdy, je-li v dané hloubce hustota všude stejná).

Rychlost tělesa na kruhové dráze je v tomto potenciálu rovna Keplerovské rychlosti

<math>v_k=\sqrt{\frac{GM}{r}},</math>

Úniková rychlost je

<math>v_{esc}=\sqrt{\frac{2GM}{r}}=\sqrt{2} \ v_k.</math>

Plummerův potenciál

Protože se hmotný bod špatně integruje, je nutné ho šikovně "rozmazat". Jedním ze způsobů, jak to udělat, je použít Plummerovu sféru, jejíž potenciál je

<math>\phi_P(r) = -\frac{GM}{\sqrt{r^2 + b^2}},</math>

kde <math>b</math> je parametr.

Z Poissonovy rovnice pak odvodíme funkční závislost hustoty <math>\rho</math> na poloměru <math>r</math>.

<math>\rho_P(r) = \frac{3M}{4\pi b^3}\left(1+\frac{r^2}{b^2}\right)^{-5/2}</math>

Přičemž tato hustota jde do nekonečna, ale nediverguje.

Kuzminův potenciál

Analogie Plummerovy sféry ve válcových souřadnicích (opět "rozmazáváme" potenciál hmotného bodu).

<math>\phi_K(R, z) = -\frac{GM}{\sqrt{R^2 + \left(a + |z|\right)^2}},</math>

  • <math>R</math> je vzdálenost v rovině xy
  • <math>a</math> je parametr
  • <math>|z|</math> je absolutní hodnota vzdálenosti ve směru osy z.

Poissonova rovnice ve válcových souřadnicích vede na povrchovou hustotu

<math>\Sigma_K(R) = \frac{aM}{2\pi \left(R^2 + a^2\right)^{3/2}}.</math>

Miyamoto−Nagai potenciál

Toto je zobecnění všech předchozích potenciálů.

<math>\phi_{MN}(R,z) = -\frac{GM}{\sqrt{R^2 + \left(a + \sqrt{z^2 + b^2}\right)^2}}.</math>

Pokud

  • <math>a = 0</math> a <math>b=0</math> ... přechází v potenciál hmotného bodu, neboť <math>r = \sqrt{R^2 + z^2}</math>
  • <math>a=0</math> a <math>b \neq 0</math> ... přechází v Plummerův potenciál
  • <math>a \neq 0</math> a <math>b=0</math> ... přechází v Kuzminův potenciál, neboť <math>|z| = \sqrt{z^2}</math>.

Tedy pokud je <math>b \ll a</math>, odpovídá to přibližně rozložení potenciálu disku s centrální výdutí (např. galaxie), pokud je <math>b \gg a</math>, dostáváme přibližně potenciál koule.

Z Poissonovy rovnice lze odvodit hustota

<math>\rho_{MN}(R,z) = \left(\frac{b^2 M}{4\pi}\right) \frac{aR^2 + \left(a+3\sqrt{z^2 + b^2}\right)\left(a + \sqrt{z^2 + b^2}\right)^2}{\left[R^2 + \left(a+\sqrt{z^2 + b^2}\right)^2\right]^{5/2} \left(z^2 + b^2\right)^{3/2}}</math>

Související články


Citováno z „http://www2000.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Gravita%C4%8Dn%C3%AD_potenci%C3%A1l“