Ortonormalita

Z Multimediaexpo.cz

V lineární algebře, dva vektory v a w v prostoru s definovaným skalárním součinem jsou ortonormální, pokud jsou ortogonální a mají jednotkovou délku, tedy platí:

\(\langle v | w \rangle = 0 \) a zároveň \(\| v \| = \| w \| = 1\).

Báze, kde jsou všechny vektory navzájem ortonormální se nazývá ortonormální báze. Dá se najít například Gram-Schmidtovou ortogonalizací – nově vytvořený ortogonální vektor vydělíme jeho normou, čímž se změní pouze jeho délka, ne však směr.

Pokud je \(Z = (v_1, \dots, v_n)\) ortonormální bází vektorového prostoru \(\mathcal{V}\), potom:

• \(\forall u \in \mathcal{V}: u = \sum^{n}_{i=1} \langle u|v_i\rangle v_i \). (koeficientům se někdy říká Fourierovy – souvislost s diskrétní Fourierovou transformací)
• \(\forall u,w \in \mathcal{V}: \langle u | w \rangle = [w]^\mathrm{H}_Z [u]_Z\) (Parsevalova rovnost).

Nejpoužívanější ortonormální bázi (někdy se označuje jako kanonická) používá kartézská soustava souřadnic – je tvořená vektory \((1,0,\dots,0), (0,1,0,\dots,0), \dots, (0,\dots,0,1)\).

Související články

• Ortogonalita