Carmichaelova funkce
Z Multimediaexpo.cz
Carmichaelova funkce, pojmenovaná po Robertu Danielovi Carmichaelovi (1879–1967) , je funkce z oboru teorie čísel značená λ(n), která pro přirozené číslo n vrátí nejmenší m takové, že
- \(a^m \equiv 1 \pmod{n}\)
pro všechna přirozená čísla a menší než n a nesoudělná s n. Tedy vrátí exponent multiplikativní grupy celých čísel modulo n.
Prvních 26 hodnoto této funkce pro n = 1, 2, 3 … je 1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 2, 6, 4, 10, 2, 12, 6, 4, 4, 16, 6, 18, 4, 6, 10, 22, 2, 20, 12, …[1]
Carmichaelova věta
Carmichaelova věta říká, že Carmichaelovu funkci lze definovat se stejným výsledkem také pomocí rekurze:
Pro prvočíslo p a kladné celé číslo k takové, že p≥3 nebo k≤2 definujeme
- \(\lambda(p^k) = p^{k-1}(p-1).\,\),
co zároveň odpovídá hodnotě Eulerovy funkce.
Pro celá čísla k≥3 definujeme
- \(\lambda(2^k) = 2^{k-2}\,\)
a pro různá prvočísla \(p_1,p_2,\ldots,p_t\) a kladná celá čísla \(k_1,k_2,\ldots,k_t\) definujeme
- \(\lambda(p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_t^{k_t}) = \mathrm{NSN}( \lambda(p_1^{k_1}), \lambda(p_2^{k_2}), \ldots, \lambda(p_t^{k_t}) )\)
kde \(\mathrm{NSN}\) značí nejmenší společný násobek.
Jak je vidět, Carmichaelova věta zobecňuje výsledky Malé Fermatovy věty a Eulerovy věty.
Reference
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |