Kofinál

Z Multimediaexpo.cz

Kofinál či také kofinalita limitního ordinálu je matematický pojem z oblasti teorie množin (ordinální aritmetiky). Je to jedna ze základních charakteristik limitních ordinálů, vyjadřuje „míru přístupnosti horních pater ordinálu“.

Obsah [skrýt] 1 Definice 1.1 Kofinální podmnožina 1.2 Kofinál a kofinalita 1.3 Regulární a singulární ordinál 2 Vlastnosti 3 Související články

Definice

Pojem kofinality má smysl definovat jen pro limitní ordinální čísla. Dále tedy $\alpha ,\beta$ budou označovat libovolná ordinální čísla a $\gamma ,\delta$ budou označovat vždy limitní ordinály.

Kofinální podmnožina

Řekneme, že množina $A\subseteq \gamma$ je kofinální podmnožinou $\gamma$, existuje-li pro každé $\alpha \in \gamma$ takové $\beta \in A$, že $\alpha \le \beta$. Říkáme také, že A je kofinální s $\gamma$.

Například

• množina $A=\{\omega +\alpha ;\alpha \in \omega \}$ je kofinální podmnožina ordinálu $\omega +\omega$.
• množina $A=\{\delta \cdot \alpha +\alpha ;\alpha \in \delta \}$ je kofinální podmnožina ordinálu $\delta \cdot \delta$.
• množina $A=\{{\mathrm{\aleph }}_{\alpha };\alpha \in \gamma \}$ je kofinální podmnožina ordinálu ${\mathrm{\aleph }}_{\gamma }$ pro každé $\gamma >\omega$.

Kofinál a kofinalita

Kofinálem limitního ordinálu $\gamma$ rozumíme nejmenší ordinál $\alpha$ takový, že existuje množina $A\subseteq \gamma$ kofinální s $\gamma$, jejímž ordinálním typem je $\alpha$ (tj. A je $\in$-izomorfní s $\alpha$). Kofinál limitního ordinálu $\gamma$ se značí $cf(\gamma )$.

Kofinalitou $\gamma$ rozumíme mohutnost (kardinalitu) $cf(\gamma )$. Lze ukázat, že pro každé $\gamma$ je $cf(\gamma )$ kardinální číslo, a tedy pojmy kofinál a kofinalita splývají.

Například

• $cf(\omega +\omega )=\omega$
• $cf(\delta \cdot \delta )=\delta$
• $cf({\mathrm{\aleph }}_{\gamma })=cf(\gamma )$ pro každé $\gamma >\omega$

Regulární a singulární ordinál

Limitní ordinál, který je roven své kofinalitě se nazývá regulární. V opačném případě (je-li kofinalita menší) se nazývá singulární.

Vlastnosti

• Pro každý limitní ordinál $\gamma$ platí $\omega \le cf(\gamma )\le \gamma$
• Pro každý limitní ordinál $\gamma$ platí $cf(cf(\gamma ))=cf(\gamma )$.
• Pro všechna $\gamma$ je $cf(\gamma )$ kardinální číslo.

Dále za předpokladu axiomu výběru:

• Pro každý nekonečný kardinál $\kappa$ platí $\kappa <{\kappa }^{cf(\kappa )}$.

Související články

• regulární ordinál
• singulární ordinál

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii