dokončit zcela nový balíček 900 000 fotografií na plných 100 procent !!
Nedostižná hranice 4 000 000 fotografií se února 2026 už nedožije...
Kofinál
Z Multimediaexpo.cz
Kofinál či také kofinalita limitního ordinálu je matematický pojem z oblasti teorie množin (ordinální aritmetiky). Je to jedna ze základních charakteristik limitních ordinálů, vyjadřuje „míru přístupnosti horních pater ordinálu“.
Obsah[skrýt] |
Definice
Pojem kofinality má smysl definovat jen pro limitní ordinální čísla. Dále tedy \(\alpha,\, \beta</math> budou označovat libovolná ordinální čísla a \( \gamma,\, \delta</math> budou označovat vždy limitní ordinály.
Kofinální podmnožina
Řekneme, že množina \(A \subseteq \gamma</math> je kofinální podmnožinou \(\gamma</math>, existuje-li pro každé \(\alpha \in \gamma </math> takové \(\beta \in A</math>, že \(\alpha\, \leq\, \beta</math>. Říkáme také, že A je kofinální s \(\gamma</math>.
Například
- množina \(A=\{\omega + \alpha ; \alpha \in \omega \}</math> je kofinální podmnožina ordinálu \(\omega \,+\, \omega</math>.
- množina \(A=\{\delta \cdot \alpha + \alpha ; \alpha \in \delta \}</math> je kofinální podmnožina ordinálu \(\delta \cdot \delta</math>.
- množina \(A=\{\aleph_{\alpha}; \alpha \in \gamma \}</math> je kofinální podmnožina ordinálu \(\aleph_{\gamma}</math> pro každé \(\gamma\,>\,\omega</math>.
Kofinál a kofinalita
Kofinálem limitního ordinálu \(\gamma</math> rozumíme nejmenší ordinál \(\alpha</math> takový, že existuje množina \(A \subseteq \gamma</math> kofinální s \(\gamma</math>, jejímž ordinálním typem je \(\alpha</math> (tj. A je \(\in</math>-izomorfní s \(\alpha</math>). Kofinál limitního ordinálu \(\gamma</math> se značí \(\, cf(\gamma)</math>.
Kofinalitou \(\gamma</math> rozumíme mohutnost (kardinalitu) \(\, cf(\gamma)</math>. Lze ukázat, že pro každé \(\gamma</math> je \(\, cf(\gamma)</math> kardinální číslo, a tedy pojmy kofinál a kofinalita splývají.
Například
- \(cf(\omega + \omega) \, = \, \omega</math>
- \(cf(\delta \cdot \delta) = \delta</math>
- \(cf(\aleph_{\gamma})\,= \, cf(\gamma)</math> pro každé \(\gamma\,>\,\omega</math>
Regulární a singulární ordinál
Limitní ordinál, který je roven své kofinalitě se nazývá regulární. V opačném případě (je-li kofinalita menší) se nazývá singulární.
Vlastnosti
- Pro každý limitní ordinál \(\gamma</math> platí \(\omega \, \leq \, cf(\gamma) \, \leq \, \gamma</math>
- Pro každý limitní ordinál \(\gamma</math> platí \(cf(cf(\gamma)) \, = \, cf(\gamma)</math>.
- Pro všechna \(\gamma</math> je \(\, cf(\gamma)</math> kardinální číslo.
Dále za předpokladu axiomu výběru:
- Pro každý nekonečný kardinál \(\kappa</math> platí \(\kappa\, < \, \kappa^{cf(\kappa)}</math>.
Související články
| [zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|