Úplný svaz
Z Multimediaexpo.cz
Úplný svaz je matematický pojem z oboru teorie uspořádání, který vymezuje mezi uspořádanými množinami ty, které jsou uspořádány „rozumně“ (to znamená, že zachovávají suprema a infima).
Na rozdíl od svazu, kde je zachování suprem a infim požadováno pro dvouprvkové podmnožiny, pro úplný svaz je toto požadováno pro libovolné (tedy i nekonečné) podmnožiny.
Obsah |
Definice
Množinu \( X \,\! \) uspořádanou relací \( R \,\! \) nazveme úplným svazem, pokud pro každou svou podmnožinu obsahuje i její supremum a infimum.
\( ( \forall Y \subseteq X) (\exists i,s \in X) ( i = \inf\nolimits_R(Y) \land s = \sup\nolimits_R(Y) ) \,\! \)
Příklady a vlastnosti
Už z názvu je vidět, že každý úplný svaz je zároveň svaz. (Pokud obsahuje supremum a infimum pro každou podmnožinu, pak je obsahuje určitě i pro dvouprvkové podmnožiny – a to je přesně to, o co jde v definici svazu).
Je proto přirozené hledat příklady úplného svazu mezi svazy a ptát se, které z nich jsou úplné.
Úplný svaz potenční algebry
Potenční algebra (tj. množina všech podmnožin nějaké množiny s uspořádáním relací „být podmnožinou“) je úplný svaz, protože sjednocení je v tomto případě supremem a průnik infimem.
Pokud je tedy \( X = \mathbb{P}(X_0) \,\!\) potenční množina a \( Y \subseteq X \,\! \) je nějakou množinou podmnožin \( X_0 \,\!\)
- \( inf_{\subseteq}(Y) = \bigcap Y \,\! \)
- \( sup_{\subseteq}(Y) = \bigcup Y \,\! \)
Svazy, které nejsou úplné
Úplný svaz musí mít největší prvek a nejmenší prvek – musí totiž obsahovat supremum a infimum sebe sama (tj. celé množiny \( X \,\! \)).
Z toho vyplvývá, že například přirozená čísla nebo reálná čísla při běžném uspořádání podle velikosti nemohou být úplný svaz (nemají totiž největší prvek) – jedná se o dva příklady svazu, který není úplným svazem.
Zúplnění svazu reálných čísel
O reálných číslech \( \mathbb{R} \,\! \) víme, že se jedná o svaz, navíc jejich omezené množiny mají supremum a infimum. Pokud by se podařilo nějak přidělit supremum a infimum i neomezeným množinám reálných čísel, získali bychom úplný svaz.
Uvažujme o množině, která vznikne z \( \mathbb{R} \,\! \) jejich rozšířením o dva prvky: \( +\infty \,\! \) je větší, než všechny čísla z \( \mathbb{R} \,\! \) a \( -\infty \,\! \) je menší, než všechna čísla z \( \mathbb{R} \,\! \). (Díky tranzitivitě uspořádání platí také, že \( -\infty < +\infty \,\! \) ).
Získali jsme množinu \( \mathbb{R} \cup \{ -\infty, +\infty \} \,\! \), která již je úplný svaz:
- omezené množiny z \( \mathbb{R} \,\! \) mají supremum a infimum v \( \mathbb{R} \,\! \)
- zdola neomezená množina z \( \mathbb{R} \,\! \) má infimum \( -\infty \,\! \)
- shora neomezená množina z \( \mathbb{R} \,\! \) má supremum \( +\infty \,\! \)
- množina obsahující \( -\infty \,\! \) má infimum \( -\infty \,\! \)
- množina obsahující \( +\infty \,\! \) má supremum \( +\infty \,\! \)
Související články
Externí odkazy
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |