V encyklopedii Allmultimedia.cz byl aktivován špičkový grafický skin Foreground.
Foreground plně podporuje – RWD, HTML 5.0, Super Galerii a YouTube 2.0 !

Cauchyho-Riemannovy podmínky

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
(+ Aktualizace)
 
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Cauchyho-Riemannovy podmínky|700}}
+
V [[matematika|matematice]], konkrétně v [[komplexní analýza|komplexní analýze]], jsou '''Cauchyho-Riemannovy podmínky''' nutnou (ne však postačující) podmínkou, aby daná funkce byla [[holomorfní funkce|holomorfní]] (tedy komplexně diferencovatelná). Postačující podmínkou je např. pokud mají [[Funkce (matematika)|funkce]] ''u'',''v'' spojité [[parciální derivace]]. Jde o [[parciální diferenciální rovnice]] pojmenované po [[Augustin Louis Cauchy|Augustinu Cauchym]] a [[Bernhard Riemann|Bernhardu Riemannovi]]. Poprvé se tyto rovnice objevily roku 1752 v práci D'Alemberta.
 +
== Cauchyova-Riemannova věta ==
 +
Následující tvrzení, které charakterizuje [[holomorfní funkce]] pomocí Cauchyových-Riemannových podmínek, bývá označováno jako '''Cauchyova-Riemannova věta'''.
 +
 +
Buď ''f''(''x'' + ''iy'') = ''u'' + ''iv'' [[funkce (matematika)|funkce]] z [[otevřená množina|otevřené podmnožiny]] [[komplexní číslo|komplexních čísel]] '''C''' do '''C''', kde ''x'' a ''y'' jsou [[reálné číslo|reálná čísla]] a ''u'', ''v'' jsou reálné funkce definované na otevřené podmnožině '''R'''<sup>2</sup>. Potom ''f'' je holomorfní právě když ''u'' a ''v'' jsou spojitě diferencovatelné a jejich parciální derivace splňují Cauchyho-Riemannovy podmínky:
 +
 +
:'''<big>\({ \partial u \over \partial x } = { \partial v \over \partial y}\)</big>'''
 +
 +
a
 +
 +
:'''<big>\({ \partial u \over \partial y } = -{ \partial v \over \partial x}.\)</big>'''
 +
 +
=== Kompaktní formulace ===
 +
Tyto dvě podmínky lze ekvivalentně vyjádřit pomocí jediného vztahu:
 +
 +
:'''<big>\({ i { \partial f \over \partial x } } = { \partial f \over \partial y } . \)</big>'''
 +
 +
=== Formulace v polárních souřadnicích ===
 +
Je-li komplexní číslo zapsáno v&nbsp;polárních souřadnicích: '''<big>\(z=re^{i\theta}\)</big>''', lze zapsat Cauchyho-Riemannovy podmínky ve tvaru:
 +
:'''<big>\({ \partial u \over \partial r } = {1 \over r}{ \partial v \over \partial \theta},\)</big>'''
 +
 +
:'''<big>\({ \partial v \over \partial r } = -{1 \over r}{ \partial u \over \partial \theta}.\)</big>'''
 +
 +
=== Kompaktní formulace v polárních souřadnicích ===
 +
Opět lze tyto dvě rovnice zapsat pomocí jediné:
 +
 +
:'''<big>\({\partial f \over \partial r} = {1 \over i r}{\partial f \over \partial \theta},\)</big>'''
 +
 +
kde derivace uvažujeme v bodě <big>\(re^{i\theta}\)</big>.
 +
 +
== Odvození ==
 +
=== Jako derivace funkce dvou proměnných ===
 +
První možností jak vést důkaz je říci, že má-li funkce parciální derivaci jako funkce dvou proměnných, potom musí mít stejnou hodnotu podél všech křivek procházejících daným bodem. Máme-li funkci ''f''(''z'') = ''u''(''x'', ''y'') + i ''v''(''x'', ''y'') nad '''C''', a počítáme-li derivaci v bodě, ''z''<sub>0</sub>, přibližujeme se k ''z''<sub>0</sub> nejprve po křivce podél reálné osy a poté podél imaginární osy. Obě hodnoty derivací musí vyjít stejné.
 +
 +
Podél reálné osy:
 +
 +
:{|
 +
|-
 +
|'''<big>\(f'(z)\,\)</big>'''
 +
|'''<big>\(=\lim_{h\rightarrow 0} {f(z+h)-f(z) \over h}\)</big>'''</big>
 +
|-
 +
|
 +
|'''<big>\(=\lim_{h\rightarrow 0}{u(x+h,y)+iv(x+h,y)-[u(x,y)+iv(x,y)]\over h}\)</big>'''</big>
 +
|-
 +
|
 +
|'''<big>\(=\lim_{h\rightarrow 0}{[u(x+h,y)-u(x,y)]+i[v(x+h,y)-v(x,y)]\over h}\)</big>'''</big>
 +
|-
 +
|
 +
|'''<big>\(=\lim_{h\rightarrow 0}{\left[\frac{u(x+h,y)-u(x,y)}{h}+i\frac{v(x+h,y)-v(x,y)}{h}\right]},\)</big>'''
 +
|}
 +
což je z definice [[parciální derivace]] rovno
 +
 +
:<big><big>\(f'(z)={\partial u \over \partial x} + i {\partial v \over \partial x}.\)</big></big>
 +
 +
Podél imaginární osy:
 +
 +
:{|
 +
|-
 +
|'''<big>\(f'(z)\,\)</big>'''
 +
|'''<big>\(=\lim_{h\rightarrow 0} {f(z+ih)-f(z) \over ih}\)</big>'''
 +
|-
 +
|
 +
|'''<big>\(=\lim_{h\rightarrow 0}{u(x,y+h)+iv(x,y+h)-[u(x,y)+iv(x,y)]\over ih}\)</big>'''
 +
|-
 +
|
 +
|'''<big>\(=\lim_{h\rightarrow 0}{\left[\frac{u(x,y+h)-u(x,y)}{ih} +i\frac{v(x,y+h)-v(x,y)}{ih}\right]}\)</big>'''
 +
|-
 +
|
 +
|'''<big>\(=\lim_{h\rightarrow 0}{\left[-i\frac{u(x,y+h)-u(x,y)}{h}+\frac{v(x,y+h)-v(x,y)}{h}\right]}\)</big>'''
 +
|-
 +
|
 +
|'''<big>\(=\lim_{h\rightarrow 0}{\left[\frac{v(x,y+h)-v(x,y)}{h}-i\frac{u(x,y+h)-u(x,y)}{h}\right]}.\)</big>'''
 +
|}
 +
tedy opět z definice parciální derivace:
 +
 +
:'''<big>\(f'(z)={\partial v \over \partial y} - i {\partial u \over \partial y}.\)</big>'''
 +
 +
Porovnáním těchto dvou výsledků
 +
 +
:'''<big>\({\partial u \over \partial x} + i {\partial v \over \partial x} = {\partial v \over \partial y} - i {\partial u \over \partial y}.\)</big>'''
 +
 +
Má-li se rovnat reálná i imaginární část bude
 +
 +
:'''<big>\({\partial u \over \partial x} = {\partial v \over \partial y}\)</big>'''
 +
 +
:'''<big>\({\partial u \over \partial y} = - {\partial v \over \partial x}. \quad\square\)</big>'''
 +
 +
=== Pomocí reprezentace derivace jako lineárního zobrazení ===
 +
Další možností, jak odvodit Cauchyho-Riemannovy podmínky je uvažovat komplexní [[derivace|derivaci]] jako [[lineární zobrazení]] a to dvěma způsoby – jako zobrazení z <big>\(\mathbb{C}\)</big> do <big>\(\mathbb{C}\)</big> a jako zobrazení z <big>\(\mathbb{R}^{2}\)</big> do <big>\(\mathbb{R}^{2}\)</big>.
 +
 +
Chápeme-li ''f'' přirozeným způsobem jako funkci z <big>\(\mathbb{R}^{2}\)</big> do <big>\(\mathbb{R}^{2}\)</big>, je lineární zobrazení ''L'' [[totální diferenciál|totálním diferenciálem]] ''f'' v bodě ''z'', platí-li:
 +
 +
:<big>\(\,f(z+h)=f(z) + L(h) + \xi(h)\)</big>, kde <big>\(\xi\)</big> je funkce splňující <big>\(\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\xi(h)}{\|h\|}=0.\)</big>
 +
 +
Na druhou stranu si uvědomme, že komplexní číslo ''w'' je komplexní derivací funkce <big>\(f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}\)</big> v bodě ''z'', právě když pro všechna <big>\(h\in\mathbb{C}\)</big> platí:
 +
 +
:<big>\(\,f(z+h)=f(z) + w\cdot h + \xi(h)\)</big>, kde <big>\(\xi\)</big> je opět funkce splňující <big>\(\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\xi(h)}{|h|}=0.\)</big>
 +
 +
Přitom ''w = s + it'' určuje jednoznačně lineární zobrazení <big>\(W:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2\)</big> dané maticí
 +
 +
:<big>\(W= \begin{pmatrix} s &  -t  \\  t & \;\; s \end{pmatrix}.\)</big>
 +
 +
Toto zobrazení splňuje (stále při přirozeném ztotožňování komplexních čísel s vektory z <big>\(\mathbb{R}^2\)</big>) vztah <big>\(W(h)= w\cdot h\)</big>, tedy platí:
 +
 +
:<big>\(\,f(z+h)=f(z) + W(h) + \xi(h)\)</big>, kde <big>\(\xi\)</big> je opět funkce splňující <big>\(\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\xi(h)}{|h|}=0.\)</big>.
 +
 +
Tedy na jednu stranu, má-li ''f'' v bodě ''z'' komplexní derivaci ''w'', je zobrazení ''W'' totálním diferenciálem <big>\(f(x,y)=u(x,y)+i\cdot v(x,y)\)</big> a tedy platí:
 +
 +
:<big>\(W=\begin{pmatrix} s & -t \\ t & \;\; s \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x}(z) & \frac{\partial u}{\partial y}(z) \\ \frac{\partial v}{\partial x}(z) & \frac{\partial v}{\partial y}(z)\end{pmatrix}, \)</big>
 +
 +
odkud Cauchyho-Riemannovy podmínky zřejmě plynou.
 +
 +
Na druhou stranu, má-li ''f = u + iv'' spojité parciální derivace v ''z'', má v ''z'' totální diferenciál:
 +
 +
:<big>\(\mathrm{d}f(z)= \begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x}(z) & \frac{\partial u}{\partial y}(z) \\ \frac{\partial v}{\partial x}(z) & \frac{\partial v}{\partial y}(z) \end{pmatrix}.\)</big>
 +
 +
Pak z dříve dokázaných vztahů je číslo <big>\(w=\frac{\partial u}{\partial x}(z)+i\cdot\frac{\partial v}{\partial x}(z)\)</big> komplexní derivací funkce ''f'', neboť díky platnosti Cauchyho-Riemannových podmínek je lineární zobrazení ''W'' určené takto definovaným ''w'' rovno <big>\(\mathrm{d}f(z)\)</big>.
 +
<big>\(\quad\square\)</big>
 +
 +
== Reference ==
 +
* Jiří Veselý: Komplexní analýza, Karolinum [[Praha]], [[2000]]
 +
 +
== Externí odkazy ==
 +
* {{MathWorld|id=Cauchy-RiemannEquations}}
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Komplexní analýza]]
[[Kategorie:Komplexní analýza]]
[[Kategorie:Matematické věty a důkazy]]
[[Kategorie:Matematické věty a důkazy]]

Aktuální verze z 29. 4. 2025, 08:57

V matematice, konkrétně v komplexní analýze, jsou Cauchyho-Riemannovy podmínky nutnou (ne však postačující) podmínkou, aby daná funkce byla holomorfní (tedy komplexně diferencovatelná). Postačující podmínkou je např. pokud mají funkce u,v spojité parciální derivace. Jde o parciální diferenciální rovnice pojmenované po Augustinu Cauchym a Bernhardu Riemannovi. Poprvé se tyto rovnice objevily roku 1752 v práci D'Alemberta.

Obsah

Cauchyova-Riemannova věta

Následující tvrzení, které charakterizuje holomorfní funkce pomocí Cauchyových-Riemannových podmínek, bývá označováno jako Cauchyova-Riemannova věta.

Buď f(x + iy) = u + iv funkce z otevřené podmnožiny komplexních čísel C do C, kde x a y jsou reálná čísla a u, v jsou reálné funkce definované na otevřené podmnožině R2. Potom f je holomorfní právě když u a v jsou spojitě diferencovatelné a jejich parciální derivace splňují Cauchyho-Riemannovy podmínky:

\({ \partial u \over \partial x } = { \partial v \over \partial y}\)

a

\({ \partial u \over \partial y } = -{ \partial v \over \partial x}.\)

Kompaktní formulace

Tyto dvě podmínky lze ekvivalentně vyjádřit pomocí jediného vztahu:

\({ i { \partial f \over \partial x } } = { \partial f \over \partial y } . \)

Formulace v polárních souřadnicích

Je-li komplexní číslo zapsáno v polárních souřadnicích: \(z=re^{i\theta}\), lze zapsat Cauchyho-Riemannovy podmínky ve tvaru:

\({ \partial u \over \partial r } = {1 \over r}{ \partial v \over \partial \theta},\)
\({ \partial v \over \partial r } = -{1 \over r}{ \partial u \over \partial \theta}.\)

Kompaktní formulace v polárních souřadnicích

Opět lze tyto dvě rovnice zapsat pomocí jediné:

\({\partial f \over \partial r} = {1 \over i r}{\partial f \over \partial \theta},\)

kde derivace uvažujeme v bodě \(re^{i\theta}\).

Odvození

Jako derivace funkce dvou proměnných

První možností jak vést důkaz je říci, že má-li funkce parciální derivaci jako funkce dvou proměnných, potom musí mít stejnou hodnotu podél všech křivek procházejících daným bodem. Máme-li funkci f(z) = u(x, y) + i v(x, y) nad C, a počítáme-li derivaci v bodě, z0, přibližujeme se k z0 nejprve po křivce podél reálné osy a poté podél imaginární osy. Obě hodnoty derivací musí vyjít stejné.

Podél reálné osy:

\(f'(z)\,\) \(=\lim_{h\rightarrow 0} {f(z+h)-f(z) \over h}\)</big>
\(=\lim_{h\rightarrow 0}{u(x+h,y)+iv(x+h,y)-[u(x,y)+iv(x,y)]\over h}\)</big>
\(=\lim_{h\rightarrow 0}{[u(x+h,y)-u(x,y)]+i[v(x+h,y)-v(x,y)]\over h}\)</big>
\(=\lim_{h\rightarrow 0}{\left[\frac{u(x+h,y)-u(x,y)}{h}+i\frac{v(x+h,y)-v(x,y)}{h}\right]},\)

což je z definice parciální derivace rovno

\(f'(z)={\partial u \over \partial x} + i {\partial v \over \partial x}.\)

Podél imaginární osy:

\(f'(z)\,\) \(=\lim_{h\rightarrow 0} {f(z+ih)-f(z) \over ih}\)
\(=\lim_{h\rightarrow 0}{u(x,y+h)+iv(x,y+h)-[u(x,y)+iv(x,y)]\over ih}\)
\(=\lim_{h\rightarrow 0}{\left[\frac{u(x,y+h)-u(x,y)}{ih} +i\frac{v(x,y+h)-v(x,y)}{ih}\right]}\)
\(=\lim_{h\rightarrow 0}{\left[-i\frac{u(x,y+h)-u(x,y)}{h}+\frac{v(x,y+h)-v(x,y)}{h}\right]}\)
\(=\lim_{h\rightarrow 0}{\left[\frac{v(x,y+h)-v(x,y)}{h}-i\frac{u(x,y+h)-u(x,y)}{h}\right]}.\)

tedy opět z definice parciální derivace:

\(f'(z)={\partial v \over \partial y} - i {\partial u \over \partial y}.\)

Porovnáním těchto dvou výsledků

\({\partial u \over \partial x} + i {\partial v \over \partial x} = {\partial v \over \partial y} - i {\partial u \over \partial y}.\)

Má-li se rovnat reálná i imaginární část bude

\({\partial u \over \partial x} = {\partial v \over \partial y}\)
\({\partial u \over \partial y} = - {\partial v \over \partial x}. \quad\square\)

Pomocí reprezentace derivace jako lineárního zobrazení

Další možností, jak odvodit Cauchyho-Riemannovy podmínky je uvažovat komplexní derivaci jako lineární zobrazení a to dvěma způsoby – jako zobrazení z \(\mathbb{C}\) do \(\mathbb{C}\) a jako zobrazení z \(\mathbb{R}^{2}\) do \(\mathbb{R}^{2}\).

Chápeme-li f přirozeným způsobem jako funkci z \(\mathbb{R}^{2}\) do \(\mathbb{R}^{2}\), je lineární zobrazení L totálním diferenciálem f v bodě z, platí-li:

\(\,f(z+h)=f(z) + L(h) + \xi(h)\), kde \(\xi\) je funkce splňující \(\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\xi(h)}{\|h\|}=0.\)

Na druhou stranu si uvědomme, že komplexní číslo w je komplexní derivací funkce \(f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}\) v bodě z, právě když pro všechna \(h\in\mathbb{C}\) platí:

\(\,f(z+h)=f(z) + w\cdot h + \xi(h)\), kde \(\xi\) je opět funkce splňující \(\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\xi(h)}{|h|}=0.\)

Přitom w = s + it určuje jednoznačně lineární zobrazení \(W:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2\) dané maticí

\(W= \begin{pmatrix} s & -t \\ t & \;\; s \end{pmatrix}.\)

Toto zobrazení splňuje (stále při přirozeném ztotožňování komplexních čísel s vektory z \(\mathbb{R}^2\)) vztah \(W(h)= w\cdot h\), tedy platí:

\(\,f(z+h)=f(z) + W(h) + \xi(h)\), kde \(\xi\) je opět funkce splňující \(\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\xi(h)}{|h|}=0.\).

Tedy na jednu stranu, má-li f v bodě z komplexní derivaci w, je zobrazení W totálním diferenciálem \(f(x,y)=u(x,y)+i\cdot v(x,y)\) a tedy platí:

\(W=\begin{pmatrix} s & -t \\ t & \;\; s \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x}(z) & \frac{\partial u}{\partial y}(z) \\ \frac{\partial v}{\partial x}(z) & \frac{\partial v}{\partial y}(z)\end{pmatrix}, \)

odkud Cauchyho-Riemannovy podmínky zřejmě plynou.

Na druhou stranu, má-li f = u + iv spojité parciální derivace v z, má v z totální diferenciál:

\(\mathrm{d}f(z)= \begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x}(z) & \frac{\partial u}{\partial y}(z) \\ \frac{\partial v}{\partial x}(z) & \frac{\partial v}{\partial y}(z) \end{pmatrix}.\)

Pak z dříve dokázaných vztahů je číslo \(w=\frac{\partial u}{\partial x}(z)+i\cdot\frac{\partial v}{\partial x}(z)\) komplexní derivací funkce f, neboť díky platnosti Cauchyho-Riemannových podmínek je lineární zobrazení W určené takto definovaným w rovno \(\mathrm{d}f(z)\). \(\quad\square\)

Reference

  • Jiří Veselý: Komplexní analýza, Karolinum Praha, 2000

Externí odkazy


Citováno z „http://www2000.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Cauchyho-Riemannovy_podm%C3%ADnky“