Meneláova věta

Z Multimediaexpo.cz

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:52

Příklad přímky EDF v případě, kdy protíná trojúhelník

Příklad přímky EDF v případě, kdy neprotíná trojúhelník

Meneláova věta je tvrzení o trojúhelnících tradičně připisované starořeckému matematikovi Meneláovi Alexandrijskému. Je podobné Cévově větě.

Znění Meneláovy věty

Máme-li dány body A,B a C, které tvoří trojúhelník ABC, a jiné body D, E a F, které leží na přímkách BC, AC a AB, pak body D, E a F leží na přímce právě tehdy, když platí

\(\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1\)

V tomto výrazu uvažujeme délky úseček se znaménkem, které je dáno tím, nacházejí-li se body D, E a F uvnitř patřičných úseček, nebo vně. Například podíl AF/FB je kladný právě tehdy, pokud bod F leží na úsečce AB.

Důkaz

Nejdříve ověříme znaménko levé strany a ukážeme, že musí být vždy záporné. To plyne z toho, že přímka buď trojúhelník neprotne vůbec, nebo jej protne právě ve dvou bodech (viz Paschův axiom). Na levé straně je tedy lichý počet záporných zlomků a jejich součin bude vždy záporný.

Spustíme kolmice a, b a c z bodů A, B a C na přímku DEF. Z podobnosti trojúhelníků plyne, že

\(\frac{|AF|}{|BF|}=\frac{a}{b}\)

\(\frac{|BD|}{|CD|}=\frac{b}{c}\)

\(\frac{|CE|}{|AE|}=\frac{c}{a}\)

tedy

\(\left|\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA}\right| = \left|\frac{abc}{abc}\right|= 1\)

Ještě zbývá dokázat, že pokud by body na přímce neležely, pak rovnost neplatí. Uvažujme bod X na přímce AB, který je různý od bodu F. Označme AF, AX a AB po řadě jako n, n', s. Předpokládejme, že rovnost platí i pro X. Pak platí

\(\frac{AF}{FB} = \frac{AX}{XB},\)

neboli

\(\frac{n}{s-n} =\frac{n'}{s-n'},\)

odkud uvedením na společného jmenovatele a zjednodušením dostaneme \(n=n'\). Tedy \(F=X\), čímž je důkaz hotov.

Externí odkazy

• Meneláova věta — na PlanetMath (anglicky)
• Meneláova věta — na Mathworldu (anglicky)