Laminární proudění

Z Multimediaexpo.cz

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:52

Laminární proudění (na obrázku dole) a turbulentní proudění (nahoře) kolem trupu ponorky

Laminární proudění je takové proudění vazké kapaliny, při kterém jsou proudnice rovnoběžné a nemísí se. Částice kapaliny se pohybují vedle sebe jakoby ve vrstvách - „destičkách“ (destička = lat. lamina), které se vzájemně nepromíchávají. Odtud také laminární neboli vrstevnaté proudění. Mezi jednotlivými vrstvami se předpokládá existence vnitřního tření a platnost vztahu Newtonova zákona viskozity. Laminární proudění je tedy proudění kapaliny s vnitřním třením, které není potenciálové. Laminární proudění lze použít jako vhodnou aproximaci proudění reálných kapalin při malých rychlostech.

Ustálené proudění v úzké trubici

Proudění vazké kapaliny v úzké trubici lze při nízkých rychlostech považovat za laminární.

Rychlostní profil

Uvažujme v trubici o poloměru \(r\) malý válec kapaliny o poloměru \(x\) a délce \(\Delta l\). Na vstupní průřez tohoto válce působí tlak \(p_1\) a na výstupní průřez tlak \(p_2\). Tlakový rozdíl na délce \(\Delta l\) má hodnotu \(\Delta p=p_1-p_2\). Tlaková síla, která na válec působí ve směru toku, je

\(F = \pi x^2\Delta p\)

Tato síla odpovídá odporu kapaliny proti proudění. Tento odpor je způsoben vnitřním tření mezi pláštěm válce a kapalinou, která jej obklopuje, přičemž jej lze vyjádřit jako

\(F_t = 2\pi x\Delta l\tau\),

kde \(\tau\) je tečné napětí. Při ustáleném proudění musí být \(F\) a \(F_t\) v rovnováze. Z předchozích vztahů tedy dostaneme

\(\pi x^2\Delta p = -\pi x\Delta l\eta \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\)

Odtud po úpravě a integraci dostaneme pro rychlostní profil (tedy rozložení rychlostí v trubici) výraz

\(v = -\frac{1}{4\eta}\frac{\Delta p}{\Delta l}x^2 + k\),

kde \(k\) je integrační konstanta, kterou určíme z podmínky, že na vnitřní straně trubice je rychlost nulová, tzn. \(v=0\) pro \(x=r\). Po dosazení úpravě dostaneme

\(v = \frac{1}{4\eta}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}l}(r^2-x^2)\)

Podle tohoto vztahu je tedy závislost rychlosti \(v\) na \(x\) (tedy na vzdálenosti od středu trubice) parabolická.

Hagen-Poiseuilleův zákon

Ze znalosti rozložení rychlostí je možné spočítat objemový tok \(Q_v\). Rychlost \(v\) je v určité vzdálenosti \(x\) od osy trubice konstantní. Plochou mezikruží ve vzdálenosti \(x\) a šířce \(\mathrm{d}x\) proteče za časovou jednotku kapalina o objemu

\(\mathrm{d}Q_v = 2\pi xv\mathrm{d}x = \frac{\pi}{2\eta}\frac{\Delta p}{\Delta l}(r^2-x^2)x\mathrm{d}x\)

Integrací přes celý průřez trubice dostaneme

\(Q_v = \frac{\pi r^4}{8\eta}\frac{\Delta p}{\Delta l}\)

Tento vztah je matematickým vyjádřením tzv. Hagen-Poiseuilleova zákona, který zní:

Objemový tok viskozní tekutiny při laminárním proudění trubicí kruhového průřezu je přímo úměrný tlakovému spádu \(\frac{\Delta p}{\Delta l}\) a čtvrté mocnině poloměru trubice a je nepřímo úměrný dynamické viskozitě \(\eta\).

Maximální a průměrná rychlost proudění

Maximální rychlost, kterou se tekutina při laminárním proudění trubicí pohybuje má hodnotu

\(v_\mbox{max} = \frac{1}{4\eta}\frac{\Delta p}{\Delta l}r^2\)

a nachází se na ose trubice (\(x=0\)). Průměrnou rychlost, kterou kapalina protéká trubicí při laminárním proudění můžeme určit jako podíl objemového toku a celkového průřezu trubice (\(S=\pi r^2\)), tzn.

\(v_s = \frac{Q_v}{S} = \frac{1}{8\eta}\frac{\Delta p}{\Delta l}r^2 = \frac{1}{2}v_\mbox{max}\)

Vlastnosti

Laminární proudění je vírové, neboť část kapaliny, která se nachází mezi dvěma vrstvami s různými rychlostmi má tendenci se otáčet. Vírová vlákna mají tvar soustředných kružnic, jejichž středy leží na ose trubice. O vírové povaze laminárního proudění se lze přesvědčit výpočtem podmínky pro potenciálové proudění po libovolné uzavřené dráze. Zvolme dva body \(A, B\) na ose trubice ve vzdálenosti \(s\) a dva body \(C, D\) na okraji trubice ve stejné vzdálenosti, a to tak, že \(D\) se nachází na stejném řezu trubicí jako \(A\) a bod \(C\) se nachází na stejném řezu jako \(B\). Vzhledem k tomu, že rychlost na okraji trubice je nulová a mezi body \(A,D\) a \(B,C\) je vektor rychlosti kolmý na dráhu, dostaneme

\(\oint v\mathrm{d}s = \int_A^B v\mathrm{d}s = v_\mbox{max}s\)

Podobně lze zjistit, že pro jakoukoli jinou uzavřenou dráhu (která není souměrná podle osy trubce) by uvedený integrál byl nenulový. To znamená, že proudění není potenciálové a také, že \(\operatorname{rot}v\) je různé od nuly. Jednotlivé částice kapaliny mají tedy snahu se otáčet, a proto je proudění vířivé. Tlakový spád \(\frac{\Delta p}{\Delta l}\) je mírou odporu kapaliny proti proudění, tzn.

\(F\sim\frac{\Delta p}{\Delta l}\sim v_s\)

Při malé rychlosti proudění kapaliny se víry nemohou výrazně rozvinout a proudění probíhá tak, jako by se skládalo z nekonečně tenkých vírových vláken ve tvaru koncentrických kružnic. Při zvýšení rychlosti proudění však víry začnou proudění ovlivňovat výrazně a laminární proudění přejde v proudění turbulentní. Jako kritérium pro odlišení laminárního proudění od proudění turbulentního lze použít Reynoldsovo číslo.

Související články

• Proudění
• Turbulentní proudění
• Reynoldsovo číslo

Externí odkazy

• Laminární proudění na přepadu přehrady (youtube.com)