Problém dvou těles

Uvažujme [[uzavřený systém]] dvou těles o [[hmotnost|hmotnostech]] <math>m_1</math> a <math>m_2</math>, které se nachází v bodech s [[polohový vektor|polohovými vektory]] <math>\mathbf{r}_1</math> a <math>\mathbf{r}_2</math>, a jejichž interakce je popsána [[potenciál|potenciálem]], který závisí pouze na jejich [[vzdálenost]]i <math>|\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1|</math>. Jedná se o systém se 6 [[stupeň volnosti|stupni volnosti]].

:<math>L = \frac{1}{2}m_1\dot{\mathbf{r}_1}^2 + \frac{1}{2}m_2\dot{\mathbf{r}_2}^2 - U(|\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1|)</math>,

:<math>\mathbf{R} = \frac{m_1\mathbf{r}_1+m_2\mathbf{r_2}}{m_1+m_2}</math>

:<math>\mathbf{r}=\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1</math>

[[Vektor]] <math>\mathbf{R}</math> představuje [[polohový vektor]] [[těžiště]] celé soustavy a <math>\mathbf{r}</math> určuje relativní [[poloha bodu|polohu bodu]] ''2'' vzhledem k bodu ''1''.

:<math>\mathbf{r}_1 = \mathbf{R} - \frac{m_2}{m_1+m_2}\mathbf{r}</math>

:<math>\mathbf{r_2} = \mathbf{R} + \frac{m_1}{m_1+m_2}\mathbf{r}</math>

:<math>L = \frac{1}{2}(m_1+m_2)\dot{\mathbf{R}}^2 + \frac{1}{2}\mu\dot{\mathbf{r}}^2 - U(r)</math>,

kde <math>\mu</math> je [[redukovaná hmotnost]].

[[Souřadnice]] polohového vektoru <math>\mathbf{R}</math> jsou [[cyklická souřadnice|cyklické]]. Zachovává se tedy [[hybnost]] těžiště, tzn. <math>\frac{\part L}{\part \dot\mathbf{R}} = (m_1+m_2)\dot{\mathbf{R}}</math>. Samotný polohový vektor těžiště <math>\mathbf{R}</math> je v takovém případě [[lineární funkce|lineární funkcí]] [[čas]]u, což znamená, že těžiště se pohybuje [[rovnoměrný přímočarý pohyb|rovnoměrně přímočaře]]. Je tedy vhodné přejít do [[inerciální soustava|inerciální soustavy]] spojené s pohybem těžiště, tzv. [[těžišťová soustava|těžišťové soustavy]], v níž se těžiště nepohybuje a lze ho tedy zanedbat, čímž se redukuje počet stupňů volnosti na 3. V takovém případě zůstává pouze pohyb vzhledem k těžišti, který lze chápat jako studium pohybu jedné [[částice]] s [[redukovaná hmotnost|redukovanou hmotností]] <math>\mu</math> ve vnějším poli <math>U(r)</math> s [[lagrangián|lagrangiánem]] <math>L = \frac{1}{2}\mu\dot{\mathbf{r}}^2-U(r)</math>.  

Řešením této úlohy získáme [[polohový vektor]] <math>\mathbf{r}</math>, ze kterého lze následně přejít k souřadnicím <math>\mathbf{r}_1</math> a <math>\mathbf{r}_2</math>.

V případě <math>m_1>>m_2</math> se řešení výrazně zjednoduší. V takovém případě je <math>\mu\approx m_2</math> a bude tedy platit

:<math>\mathbf{r}_1 \approx 0</math>

:<math>\mathbf{r}_2 \approx \mathbf{r}</math>