Boltzmannova rovnice

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
(+ Aktualizace)
 
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Boltzmannova rovnice|700}}
+
'''Boltzmannova rovnice''', známá také jako '''Boltzmannova transportní rovnice''', zavedená [[Ludwig Boltzmann|Ludwigem Boltzmannem]], popisuje [[statistické rozdělení]] jedné částice v [[tekutina|tekutině]]. Je to důležitá rovnice [[nerovnovážná statistická mechanika|nerovnovážné statistické mechaniky]], oblasti statistické mechaniky, která se zabývá systémy, které jsou daleko od [[termodymická rovnováha|termodynamické rovnováhy]]; např. v přítomnosti [[teplota|teplotního]] [[Teplotní gradient|gradientu]] nebo [[elektrické pole|elektrického pole]]. Boltzmannova rovnice se používá ke studiu schopnosti tekutiny transportovat [[fyzika|fyzikální veličiny]] jako [[teplo]] a [[náboj]], a tedy k odvození transportních vlastností, například [[elektrická vodivost|elektrické vodivosti]], [[Hallův jev|Hallovy vodivosti]], [[viskozita|viskozity]] a [[tepelná vodivost|tepelné vodivosti]].
-
 
+
 
 +
== Přehled ==
 +
Boltzmannova rovnice je [[rovnice]] pro [[čas]]ový (t) vývoj [[rozdělovací funkce]] f('''x''', '''p''', ''t'') v jednočásticovém [[fázový prostor|fázovém prostoru]], kde '''x''' je poloha a '''p''' je [[hybnost]]. Rozdělení je definováno tak, že
 +
 
 +
:<big>\(f(\mathbf{x},\mathbf{p},t)\,d\mathbf{x}\,d\mathbf{p}\)</big>
 +
 
 +
je počet částic, které se v čase ''t'' nacházejí v prostorovém elementu <big>\(d^3 x \)</big> v okolí '''x''' a jejich hybnost je v [[interval]]u <big>\(d^3p\)</big> v okolí '''p'''.<ref>{{Citace monografie | příjmení=Huang | jméno=Kerson | rok=1987 | titul=Statistical Mechanics | url=https://archive.org/details/statisticalmecha00huan_858 | místo=New York | vydavatel=Wiley | isbn=0471815187 | strany=[https://archive.org/details/statisticalmecha00huan_858/page/n65 53] | vydání=Second }}</ref>
 +
 
 +
Působí-li na částice popsané ''f'' vnější [[síla]] '''F''', musí ''f'', za předpokladu neexistence srážek, splňovat
 +
 
 +
:<big>\(f(\mathbf{x}+\frac{\mathbf{p}}{m}\,dt,\mathbf{p}+\mathbf{F}\,dt,t+dt)\,d\mathbf{x}\,d\mathbf{p} = f(\mathbf{x},\mathbf{p},t)\,d\mathbf{x}\,d\mathbf{p},\)</big>
 +
 
 +
což znamená, že mají-li nějaké částice v čase ''t'' souřadnici '''x''' a hybnost '''p''', v čase <big>\(t + \mathrm{d}t\)</big> budou (všechny) v <big>\(\mathbf{x}+\frac{\mathbf{p}}{m}\mathrm{d}t\)</big>, s hybností <big>\(\mathbf{p} + \mathbf{F}\mathrm{d}t\)</big>.
 +
 
 +
Protože však ke srážkám dochází, tak se hustota částic v elementu fázového prostoru ''d'''''x''' ''d'''''p''' mění.
 +
 
 +
:<big>\(f(\mathbf{x}+\frac{\mathbf{p}}{m}dt,\mathbf{p} + \mathbf{F}dt,t+dt) \,d\mathbf{x}\,d\mathbf{p} - f(\mathbf{x},\mathbf{p},t)d\mathbf{x}\,d\mathbf{p} = \left. \frac{\partial f(\mathbf{x},\mathbf{p},t)}{\partial t} \right|_{\mathrm{coll}} \, d\mathbf{x} \, d\mathbf{p} \, dt \)</big>
 +
 
 +
Vydělením rovnice ''d'''''x'''&nbsp;''d'''''p'''&nbsp;''dt'' vznikne v limitě Boltzmannova rovnice
 +
 
 +
:<big>\(\frac{\partial f}{\partial t}+ \frac{\partial f}{\partial \mathbf{x}} \cdot \frac{\mathbf{p}}{m} + \frac{\partial f}{\partial \mathbf{p}} \cdot \mathbf{F} = \left. \frac{\partial f}{\partial t} \right|_{\mathrm{coll}}.\)</big>
 +
 
 +
'''F'''('''x''', ''t'') je síla působící mezi částicemi v tekutině a ''m'' je [[hmotnost]] částic. Člen na pravé straně rovnice popisuje efekt srážek mezi částicemi; je-li roven nule, částice se nesrážejí. Bezsrážková Boltzmannova rovnice je často chybně nazývána [[Liouvillova rovnice]] (Liouvillova rovnice je N-částicová rovnice).
 +
 
 +
== Molekulární chaos a srážkový člen (Stosszahl Ansatz) ==
 +
Výše uvedená Boltzmannova rovnice nemá velký praktický význam, neboť nechává srážkový člen nespecifikovaný. Klíčová myšlenka použitá Boltzmannem byla určit srážkový člen výhradně ze srážek dvou částic, o kterých se předpokládá, že před srážkou jsou nekorelované. Tento předpoklad byl Boltzmannem nazýván 'Stosszahl Ansatz', a je také znám jako [[předpoklad molekulárního chaosu]]. Za tohoto předpokladu lze srážkový člen psát jako [[integrál]] v hybnostním prostoru přes součin jednočásticových rozdělovacích funkcí:
 +
 
 +
:<big>\( \left. \frac{\partial f}{\partial t} \right|_{\mathrm{coll}} = \int\!\!\! \int g(\mathbf{p-p'},\mathbf{q}) \left[f(\mathbf{x},\mathbf{p+q},t) f(\mathbf{x},\mathbf{p'-q},t) - f(\mathbf{x},\mathbf{p},t) f(\mathbf{x},\mathbf{p'},t)\right]\,d\mathbf{p'}\,d\mathbf{q}.\)</big>
 +
 
 +
== Reference ==
 +
<references />
 +
 
 +
 
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Rovnice]]
[[Kategorie:Rovnice]]
[[Kategorie:Statistická mechanika]]
[[Kategorie:Statistická mechanika]]

Aktuální verze z 21. 8. 2022, 15:34

Boltzmannova rovnice, známá také jako Boltzmannova transportní rovnice, zavedená Ludwigem Boltzmannem, popisuje statistické rozdělení jedné částice v tekutině. Je to důležitá rovnice nerovnovážné statistické mechaniky, oblasti statistické mechaniky, která se zabývá systémy, které jsou daleko od termodynamické rovnováhy; např. v přítomnosti teplotního gradientu nebo elektrického pole. Boltzmannova rovnice se používá ke studiu schopnosti tekutiny transportovat fyzikální veličiny jako teplo a náboj, a tedy k odvození transportních vlastností, například elektrické vodivosti, Hallovy vodivosti, viskozity a tepelné vodivosti.

Přehled

Boltzmannova rovnice je rovnice pro časový (t) vývoj rozdělovací funkce f(x, p, t) v jednočásticovém fázovém prostoru, kde x je poloha a p je hybnost. Rozdělení je definováno tak, že

\(f(\mathbf{x},\mathbf{p},t)\,d\mathbf{x}\,d\mathbf{p}\)

je počet částic, které se v čase t nacházejí v prostorovém elementu \(d^3 x \) v okolí x a jejich hybnost je v intervalu \(d^3p\) v okolí p.[1]

Působí-li na částice popsané f vnější síla F, musí f, za předpokladu neexistence srážek, splňovat

\(f(\mathbf{x}+\frac{\mathbf{p}}{m}\,dt,\mathbf{p}+\mathbf{F}\,dt,t+dt)\,d\mathbf{x}\,d\mathbf{p} = f(\mathbf{x},\mathbf{p},t)\,d\mathbf{x}\,d\mathbf{p},\)

což znamená, že mají-li nějaké částice v čase t souřadnici x a hybnost p, v čase \(t + \mathrm{d}t\) budou (všechny) v \(\mathbf{x}+\frac{\mathbf{p}}{m}\mathrm{d}t\), s hybností \(\mathbf{p} + \mathbf{F}\mathrm{d}t\).

Protože však ke srážkám dochází, tak se hustota částic v elementu fázového prostoru dx dp mění.

\(f(\mathbf{x}+\frac{\mathbf{p}}{m}dt,\mathbf{p} + \mathbf{F}dt,t+dt) \,d\mathbf{x}\,d\mathbf{p} - f(\mathbf{x},\mathbf{p},t)d\mathbf{x}\,d\mathbf{p} = \left. \frac{\partial f(\mathbf{x},\mathbf{p},t)}{\partial t} \right|_{\mathrm{coll}} \, d\mathbf{x} \, d\mathbf{p} \, dt \)

Vydělením rovnice dx dp dt vznikne v limitě Boltzmannova rovnice

\(\frac{\partial f}{\partial t}+ \frac{\partial f}{\partial \mathbf{x}} \cdot \frac{\mathbf{p}}{m} + \frac{\partial f}{\partial \mathbf{p}} \cdot \mathbf{F} = \left. \frac{\partial f}{\partial t} \right|_{\mathrm{coll}}.\)

F(x, t) je síla působící mezi částicemi v tekutině a m je hmotnost částic. Člen na pravé straně rovnice popisuje efekt srážek mezi částicemi; je-li roven nule, částice se nesrážejí. Bezsrážková Boltzmannova rovnice je často chybně nazývána Liouvillova rovnice (Liouvillova rovnice je N-částicová rovnice).

Molekulární chaos a srážkový člen (Stosszahl Ansatz)

Výše uvedená Boltzmannova rovnice nemá velký praktický význam, neboť nechává srážkový člen nespecifikovaný. Klíčová myšlenka použitá Boltzmannem byla určit srážkový člen výhradně ze srážek dvou částic, o kterých se předpokládá, že před srážkou jsou nekorelované. Tento předpoklad byl Boltzmannem nazýván 'Stosszahl Ansatz', a je také znám jako předpoklad molekulárního chaosu. Za tohoto předpokladu lze srážkový člen psát jako integrál v hybnostním prostoru přes součin jednočásticových rozdělovacích funkcí:

\( \left. \frac{\partial f}{\partial t} \right|_{\mathrm{coll}} = \int\!\!\! \int g(\mathbf{p-p'},\mathbf{q}) \left[f(\mathbf{x},\mathbf{p+q},t) f(\mathbf{x},\mathbf{p'-q},t) - f(\mathbf{x},\mathbf{p},t) f(\mathbf{x},\mathbf{p'},t)\right]\,d\mathbf{p'}\,d\mathbf{q}.\)

Reference

  1. ↑ HUANG, Kerson. Statistical Mechanics. Second. vyd. New York : Wiley, 1987. Dostupné online. ISBN 0471815187. S. 53.  


Citováno z „http://www2000.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Boltzmannova_rovnice“