Mechanika kontinua

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:52

Mechanika kontinua je část mechaniky, která zkoumá látku bez zřetele na její diskrétní strukturu. Přestože je diskrétní struktura látky prokázána, je často vhodné sledovat těleso jako část prostoru, která je spojitě vyplněna látkou o určitých vlastnostech. Tento přechod od diskrétní struktury hmoty k představě o spojitém prostředí (kontinuu) lze provést při zkoumání látky z makroskopického hlediska. Na úrovni mikroskopické je nutno diskrétní strukturu zohledňovat. V mechanice kontinua nejsou fyzikální vlastnosti přiřazovány hmotným bodům nebo částicím, ale jednotlivým geometrickým bodům. Z hlediska fyzikálního tedy danému geometrickému bodu přiřadíme vhodnou průměrnou hodnotu, která charakterizuje rozložení dané veličiny v okolí zvoleného bodu, přičemž požadujeme, aby se při tomto popisu neprojevovala diskrétní struktura skutečné látky.

Částice kontinua

Částicí kontinua se označuje oblast spojitého prostředí, v jejímž objemu lze považovat sledované fyzikální veličiny za konstantní.

Kinematika kontinua

Pro tekutiny

Viskózní síly se neprojevují, pokud je tekutina v rovnováze. Při pohybu toto již neplatí. Proto jsou pohybové rovnice pro ideální tekutinu a posléze rovnice určující pohyb vazkých tekutin. Jsou dvě možné cesty, jak rovnice odvodit. První, zvaná Lagrangeova, spočívá ve sledování pohybu libovolné částice tekutiny. Druhá, zvaná Eulerova, sleduje změny fyzikálních veličin v určitém, pevně zvoleném bodě prostoru.

Lagrangeova metoda

Při Lagrangeově metodě si vybereme jednu konkrétní částici v čase t₀. Poloha částice v čase t bude záviset na počáteční poloze a na čase t. Rychlost v_i a zrychlení w_i určíme následovně

v_i = (∂x_i/∂t)

a

wi = (∂v_i/∂_t)= (∂²x_i/∂t²)

Lagrangeova metoda popisu kontinua určuje v okamžiku zahájení pozorování (v čase \(t=0\)) polohy částic kontinua jejich souřadnicemi \(x_i\). Souřadnice těchto částic v čase \(t\) pak označíme \(y_j\) a píšeme

\(y_j=y_j(x_i,t)\)

Pro pevně dané \(x_i\) se hovoří o trajektorii částice kontinua. Trajektorie je určena dráhou pohybu zvolené částice kontinua. Pokud bychom chtěli takto popsat každou částici v tekutině, bylo by to velice nepraktické.

Eulerova metoda

Eulerova metoda vyšetřuje stav proudění částic v určitém místě prostoru. Rychlost částice kontinua nacházející se v okamžiku \(t\) v bodě \(y_j\) je určena

\(v_i = v_i(y_j,t)\)

Proložíme-li kontinuem křivky, jejichž tečny mají v každém bodě kontinua směr rychlosti \(v_i\), pak se takové křivky označují jako proudnice. Proudnice je určena rychlostmi různých částic kontinua v daném okamžiku. Trajektorie a proudnice jsou obecně různé křivky. Oba druhy křivek splývají pouze v případě, že rychlosti jsou na čase nezávislé. V takovém případě hovoříme o stacionárním (ustáleném) pohybu kontinua.

Translační, rotační a deformační pohyb kontinua

Mechanika kontinua se zabývá především takovými pohyby, při nichž dochází ke změnám ve vzájemné poloze částic kontinua. Pokud ke změnám ve vzájemné poloze částic nedochází, pak se kontinuum pohybuje jako tuhé těleso. Uvažujme v bodě \(y_j\) rychlost určenou podle Eulerovy metody jako \(v_i(y_j,t)\) a v blízkém bodě \(y_j+\mathrm{d}y_j\) nechť je rychlost \(v_i(y_j+\mathrm{d}y_j,t)\), což vyjádříme pomocí přibližného vztahu

\(v_i(y_j+\mathrm{d}y_j,t) = v_i(y_j,t) + \left(\frac{\part v_i}{\part y_j}\right)\mathrm{d}y_j\)

Výraz \(\frac{\part v_i}{\part y_j}\) lze vyjádřit pomocí následující identity

\(\frac{\part v_i}{\part y_j} = \frac{1}{2}\left(\frac{\part v_i}{\part y_j} + \frac{\part v_j}{\part y_i}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{\part v_i}{\part y_j} - \frac{\part v_j}{\part y_i}\right)\)

Pravá strana představuje rozklad tenzoru \(\frac{\part v_i}{\part y_j}\) na symetrickou a antisymetrickou část. Pomocí tohoto rozkladu získáme

\(v_i(y_j+\mathrm{d}y_j,t) = v_i(y_j,t) + \frac{1}{2}\left(\frac{\part v_i}{\part y_j} - \frac{\part v_j}{\part y_i}\right)\mathrm{d}y_j + \frac{1}{2}\left(\frac{\part v_i}{\part y_j} + \frac{\part v_j}{\part y_i}\right)\mathrm{d}y_j\)

První dva členy na pravé straně představují pohyb kontinua jako celku, přičemž první člen představuje rychlost translačního pohybu a druhý člen rychlost rotace. Poslední člen udává rychlost, s jakou se mění vzdálenosti částic v okolí bodu \(y_j\). Tento člen tedy popisuje deformaci kontinua (tzv. deformační pohyb). Uvedená rovnice je obsahem tzv. první Helmholtzovy věty, podle které lze pohyb kontinua v okolí určitého bodu rozložit na pohyb translační (posuvný), na pohyb rotační (otáčivý) a pohyb deformační.

Reference

Miroslav Brdička, Ladislav Samek a Bruno Sopko: Mechanika kontinua, Academia, 2000

Související články

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 15: / Řádka 15: @@
 a
 * wi = (∂v<sub>i</sub>/∂<sub>t</sub>)= (∂<sup>2</sup>x<sub>i</sub>/∂t<sup>2</sup>)
-Lagrangeova metoda popisu kontinua určuje v okamžiku zahájení pozorování (v [[čas]]e <big>\(t=0</math>) [[poloha|polohy]] částic kontinua jejich [[souřadnice]]mi <big>\(x_i</math>. Souřadnice těchto částic v čase <big>\(t</math> pak označíme <big>\(y_j</math> a píšeme
+Lagrangeova metoda popisu kontinua určuje v okamžiku zahájení pozorování (v [[čas]]e <big>\(t=0\)</big>) [[poloha|polohy]] částic kontinua jejich [[souřadnice]]mi <big>\(x_i\)</big>. Souřadnice těchto částic v čase <big>\(t\)</big> pak označíme <big>\(y_j\)</big> a píšeme
-:<big>\(y_j=y_j(x_i,t)</math>
+:<big>\(y_j=y_j(x_i,t)\)</big>
-Pro pevně dané <big>\(x_i</math> se hovoří o ''[[trajektorie|trajektorii]] částice kontinua''. Trajektorie je určena [[trajektorie|dráhou]] pohybu zvolené částice kontinua.
+Pro pevně dané <big>\(x_i\)</big> se hovoří o ''[[trajektorie|trajektorii]] částice kontinua''. Trajektorie je určena [[trajektorie|dráhou]] pohybu zvolené částice kontinua.
 Pokud bychom chtěli takto popsat každou částici v tekutině, bylo by to velice
 nepraktické.
 === Eulerova metoda ===
-Eulerova metoda vyšetřuje stav proudění částic v určitém místě prostoru. Rychlost částice kontinua nacházející se v okamžiku <big>\(t</math> v bodě <big>\(y_j</math> je určena
+Eulerova metoda vyšetřuje stav proudění částic v určitém místě prostoru. Rychlost částice kontinua nacházející se v okamžiku <big>\(t\)</big> v bodě <big>\(y_j\)</big> je určena
-:<big>\(v_i = v_i(y_j,t)</math>
+:<big>\(v_i = v_i(y_j,t)\)</big>
-Proložíme-li kontinuem [[křivka|křivky]], jejichž [[tečna|tečny]] mají v každém bodě kontinua směr rychlosti <big>\(v_i</math>, pak se takové křivky označují jako [[proudnice]]. Proudnice je určena rychlostmi různých částic kontinua v daném okamžiku.
+Proložíme-li kontinuem [[křivka|křivky]], jejichž [[tečna|tečny]] mají v každém bodě kontinua směr rychlosti <big>\(v_i\)</big>, pak se takové křivky označují jako [[proudnice]]. Proudnice je určena rychlostmi různých částic kontinua v daném okamžiku.
 Trajektorie a proudnice jsou obecně různé křivky. Oba druhy křivek splývají pouze v případě, že rychlosti jsou na [[čas]]e nezávislé. V takovém případě hovoříme o ''[[stacionární pohyb|stacionárním (ustáleném) pohybu]] kontinua''.
 === Translační, rotační a deformační pohyb kontinua ===
 Mechanika kontinua se zabývá především takovými pohyby, při nichž dochází ke změnám ve vzájemné poloze částic kontinua. Pokud ke změnám ve vzájemné poloze částic nedochází, pak se kontinuum pohybuje jako [[tuhé těleso]].
-Uvažujme v bodě <big>\(y_j</math> rychlost určenou podle Eulerovy metody jako <big>\(v_i(y_j,t)</math> a v blízkém bodě <big>\(y_j+\mathrm{d}y_j</math> nechť je rychlost <big>\(v_i(y_j+\mathrm{d}y_j,t)</math>, což vyjádříme pomocí přibližného vztahu
+Uvažujme v bodě <big>\(y_j\)</big> rychlost určenou podle Eulerovy metody jako <big>\(v_i(y_j,t)\)</big> a v blízkém bodě <big>\(y_j+\mathrm{d}y_j\)</big> nechť je rychlost <big>\(v_i(y_j+\mathrm{d}y_j,t)\)</big>, což vyjádříme pomocí přibližného vztahu
-:<big>\(v_i(y_j+\mathrm{d}y_j,t) = v_i(y_j,t) + \left(\frac{\part v_i}{\part y_j}\right)\mathrm{d}y_j</math>
+:<big>\(v_i(y_j+\mathrm{d}y_j,t) = v_i(y_j,t) + \left(\frac{\part v_i}{\part y_j}\right)\mathrm{d}y_j\)</big>
-Výraz <big>\(\frac{\part v_i}{\part y_j}</math> lze vyjádřit pomocí následující [[identita|identity]]
+Výraz <big>\(\frac{\part v_i}{\part y_j}\)</big> lze vyjádřit pomocí následující [[identita|identity]]
-:<big>\(\frac{\part v_i}{\part y_j} = \frac{1}{2}\left(\frac{\part v_i}{\part y_j} + \frac{\part v_j}{\part y_i}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{\part v_i}{\part y_j} - \frac{\part v_j}{\part y_i}\right)</math>
+:<big>\(\frac{\part v_i}{\part y_j} = \frac{1}{2}\left(\frac{\part v_i}{\part y_j} + \frac{\part v_j}{\part y_i}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{\part v_i}{\part y_j} - \frac{\part v_j}{\part y_i}\right)\)</big>
-Pravá strana představuje rozklad [[tenzor]]u <big>\(\frac{\part v_i}{\part y_j}</math> na [[symetrický tenzor|symetrickou]] a [[antisymetrický tenzor|antisymetrickou]] část. Pomocí tohoto rozkladu získáme
+Pravá strana představuje rozklad [[tenzor]]u <big>\(\frac{\part v_i}{\part y_j}\)</big> na [[symetrický tenzor|symetrickou]] a [[antisymetrický tenzor|antisymetrickou]] část. Pomocí tohoto rozkladu získáme
-:<big>\(v_i(y_j+\mathrm{d}y_j,t) = v_i(y_j,t) + \frac{1}{2}\left(\frac{\part v_i}{\part y_j} - \frac{\part v_j}{\part y_i}\right)\mathrm{d}y_j + \frac{1}{2}\left(\frac{\part v_i}{\part y_j} + \frac{\part v_j}{\part y_i}\right)\mathrm{d}y_j</math>
+:<big>\(v_i(y_j+\mathrm{d}y_j,t) = v_i(y_j,t) + \frac{1}{2}\left(\frac{\part v_i}{\part y_j} - \frac{\part v_j}{\part y_i}\right)\mathrm{d}y_j + \frac{1}{2}\left(\frac{\part v_i}{\part y_j} + \frac{\part v_j}{\part y_i}\right)\mathrm{d}y_j\)</big>
-První dva členy na pravé straně představují [[pohyb]] kontinua jako celku, přičemž první člen představuje rychlost [[translační pohyb|translačního pohybu]] a druhý člen rychlost [[rotační pohyb|rotace]]. Poslední člen udává rychlost, s jakou se mění [[vzdálenost]]i částic v okolí bodu <big>\(y_j</math>. Tento člen tedy popisuje [[deformace|deformaci]] kontinua (tzv. '''deformační pohyb''').
+První dva členy na pravé straně představují [[pohyb]] kontinua jako celku, přičemž první člen představuje rychlost [[translační pohyb|translačního pohybu]] a druhý člen rychlost [[rotační pohyb|rotace]]. Poslední člen udává rychlost, s jakou se mění [[vzdálenost]]i částic v okolí bodu <big>\(y_j\)</big>. Tento člen tedy popisuje [[deformace|deformaci]] kontinua (tzv. '''deformační pohyb''').
 Uvedená rovnice je obsahem tzv. '''první Helmholtzovy věty''', podle které lze pohyb kontinua v okolí určitého bodu rozložit na pohyb translační (posuvný), na pohyb rotační (otáčivý) a pohyb deformační.
 == Reference ==