Kofinál

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:52

Kofinál či také kofinalita limitního ordinálu je matematický pojem z oblasti teorie množin (ordinální aritmetiky). Je to jedna ze základních charakteristik limitních ordinálů, vyjadřuje „míru přístupnosti horních pater ordinálu“.

Obsah

[skrýt]

1 Definice
2 Vlastnosti
3 Související články

Definice

Pojem kofinality má smysl definovat jen pro limitní ordinální čísla. Dále tedy $α, β$ budou označovat libovolná ordinální čísla a $γ, δ$ budou označovat vždy limitní ordinály.

Kofinální podmnožina

Řekneme, že množina $A \subseteq γ$ je kofinální podmnožinou $γ$ , existuje-li pro každé $α \in γ$ takové $β \in A$ , že $α \leq β$ . Říkáme také, že A je kofinální s $γ$ .

Například

množina $A = {ω + α; α \in ω}$ je kofinální podmnožina ordinálu $ω + ω$ .
množina $A = {δ \cdot α + α; α \in δ}$ je kofinální podmnožina ordinálu $δ \cdot δ$ .
množina $A = {ℵ_{α}; α \in γ}$ je kofinální podmnožina ordinálu $ℵ_{γ}$ pro každé $γ > ω$ .

Kofinál a kofinalita

Kofinálem limitního ordinálu $γ$ rozumíme nejmenší ordinál $α$ takový, že existuje množina $A \subseteq γ$ kofinální s $γ$ , jejímž ordinálním typem je $α$ (tj. A je $\in$ -izomorfní s $α$ ). Kofinál limitního ordinálu $γ$ se značí $c f (γ)$ .

Kofinalitou $γ$ rozumíme mohutnost (kardinalitu) $c f (γ)$ . Lze ukázat, že pro každé $γ$ je $c f (γ)$ kardinální číslo, a tedy pojmy kofinál a kofinalita splývají.

Například

$c f (ω + ω) = ω$
$c f (δ \cdot δ) = δ$
$c f (ℵ_{γ}) = c f (γ)$ pro každé $γ > ω$

Regulární a singulární ordinál

Limitní ordinál, který je roven své kofinalitě se nazývá regulární. V opačném případě (je-li kofinalita menší) se nazývá singulární.

Vlastnosti

Pro každý limitní ordinál $γ$ platí $ω \leq c f (γ) \leq γ$
Pro každý limitní ordinál $γ$ platí $c f (c f (γ)) = c f (γ)$ .
Pro všechna $γ$ je $c f (γ)$ kardinální číslo.

Dále za předpokladu axiomu výběru:

Pro každý nekonečný kardinál $κ$ platí $κ < κ^{c f (κ)}$ .

Související články

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 2: / Řádka 2: @@
 == Definice ==
-Pojem '''kofinality''' má smysl definovat jen pro limitní ordinální čísla. Dále tedy <big>\(\alpha,\, \beta</math> budou označovat libovolná ordinální čísla a <big>\( \gamma,\, \delta</math> budou označovat vždy [[limitní ordinál]]y.
+Pojem '''kofinality''' má smysl definovat jen pro limitní ordinální čísla. Dále tedy <big>\(\alpha,\, \beta\)</big> budou označovat libovolná ordinální čísla a <big>\( \gamma,\, \delta\)</big> budou označovat vždy [[limitní ordinál]]y.
 === Kofinální podmnožina ===
-Řekneme, že [[množina]] <big>\(A \subseteq \gamma</math> je '''kofinální podmnožinou''' <big>\(\gamma</math>, existuje-li pro každé <big>\(\alpha \in \gamma </math> takové <big>\(\beta \in A</math>, že <big>\(\alpha\, \leq\, \beta</math>. Říkáme také, že ''A'' je kofinální s <big>\(\gamma</math>.
+Řekneme, že [[množina]] <big>\(A \subseteq \gamma\)</big> je '''kofinální podmnožinou''' <big>\(\gamma\)</big>, existuje-li pro každé <big>\(\alpha \in \gamma \)</big> takové <big>\(\beta \in A\)</big>, že <big>\(\alpha\, \leq\, \beta\)</big>. Říkáme také, že ''A'' je kofinální s <big>\(\gamma\)</big>.
 Například
-* množina <big>\(A=\{\omega + \alpha ; \alpha \in \omega \}</math> je kofinální podmnožina ordinálu <big>\(\omega \,+\, \omega</math>.
+* množina <big>\(A=\{\omega + \alpha ; \alpha \in \omega \}\)</big> je kofinální podmnožina ordinálu <big>\(\omega \,+\, \omega\)</big>.
-* množina <big>\(A=\{\delta \cdot \alpha + \alpha ; \alpha \in \delta \}</math> je kofinální podmnožina ordinálu <big>\(\delta \cdot \delta</math>.
+* množina <big>\(A=\{\delta \cdot \alpha + \alpha ; \alpha \in \delta \}\)</big> je kofinální podmnožina ordinálu <big>\(\delta \cdot \delta\)</big>.
-* množina <big>\(A=\{\aleph_{\alpha}; \alpha \in \gamma \}</math> je kofinální podmnožina ordinálu <big>\(\aleph_{\gamma}</math> pro každé <big>\(\gamma\,>\,\omega</math>.
+* množina <big>\(A=\{\aleph_{\alpha}; \alpha \in \gamma \}\)</big> je kofinální podmnožina ordinálu <big>\(\aleph_{\gamma}\)</big> pro každé <big>\(\gamma\,>\,\omega\)</big>.
 === Kofinál a kofinalita ===
-'''Kofinálem''' [[limitní ordinál|limitního ordinálu]] <big>\(\gamma</math> rozumíme nejmenší [[ordinál]] <big>\(\alpha</math> takový, že existuje [[množina]] <big>\(A \subseteq \gamma</math> kofinální s <big>\(\gamma</math>, jejímž ordinálním typem je <big>\(\alpha</math> (tj. A je <big>\(\in</math>-[[izomorfismus|izomorfní]] s <big>\(\alpha</math>). Kofinál limitního ordinálu <big>\(\gamma</math> se značí <big>\(\, cf(\gamma)</math>.
+'''Kofinálem''' [[limitní ordinál|limitního ordinálu]] <big>\(\gamma\)</big> rozumíme nejmenší [[ordinál]] <big>\(\alpha\)</big> takový, že existuje [[množina]] <big>\(A \subseteq \gamma\)</big> kofinální s <big>\(\gamma\)</big>, jejímž ordinálním typem je <big>\(\alpha\)</big> (tj. A je <big>\(\in\)</big>-[[izomorfismus|izomorfní]] s <big>\(\alpha\)</big>). Kofinál limitního ordinálu <big>\(\gamma\)</big> se značí <big>\(\, cf(\gamma)\)</big>.
-'''Kofinalitou''' <big>\(\gamma</math> rozumíme [[mohutnost]] (kardinalitu) <big>\(\, cf(\gamma)</math>. Lze ukázat, že pro každé <big>\(\gamma</math> je <big>\(\, cf(\gamma)</math> [[kardinální číslo]], a tedy pojmy kofinál a kofinalita splývají.
+'''Kofinalitou''' <big>\(\gamma\)</big> rozumíme [[mohutnost]] (kardinalitu) <big>\(\, cf(\gamma)\)</big>. Lze ukázat, že pro každé <big>\(\gamma\)</big> je <big>\(\, cf(\gamma)\)</big> [[kardinální číslo]], a tedy pojmy kofinál a kofinalita splývají.
 Například
-* <big>\(cf(\omega + \omega) \, = \, \omega</math>
+* <big>\(cf(\omega + \omega) \, = \, \omega\)</big>
-* <big>\(cf(\delta \cdot \delta) = \delta</math>
+* <big>\(cf(\delta \cdot \delta) = \delta\)</big>
-* <big>\(cf(\aleph_{\gamma})\,= \, cf(\gamma)</math> pro každé <big>\(\gamma\,>\,\omega</math>
+* <big>\(cf(\aleph_{\gamma})\,= \, cf(\gamma)\)</big> pro každé <big>\(\gamma\,>\,\omega\)</big>
 === Regulární a singulární ordinál ===
@@ Řádka 26: / Řádka 26: @@
 == Vlastnosti ==
-* Pro každý [[limitní ordinál]] <big>\(\gamma</math> platí <big>\(\omega \, \leq \, cf(\gamma) \, \leq \, \gamma</math>
+* Pro každý [[limitní ordinál]] <big>\(\gamma\)</big> platí <big>\(\omega \, \leq \, cf(\gamma) \, \leq \, \gamma\)</big>
-* Pro každý [[limitní ordinál]] <big>\(\gamma</math> platí <big>\(cf(cf(\gamma)) \, = \, cf(\gamma)</math>.
+* Pro každý [[limitní ordinál]] <big>\(\gamma\)</big> platí <big>\(cf(cf(\gamma)) \, = \, cf(\gamma)\)</big>.
-* Pro všechna <big>\(\gamma</math> je <big>\(\, cf(\gamma)</math> kardinální číslo.
+* Pro všechna <big>\(\gamma\)</big> je <big>\(\, cf(\gamma)\)</big> kardinální číslo.
 Dále za předpokladu [[axiom výběru|axiomu výběru]]:
-* Pro každý nekonečný [[kardinální číslo|kardinál]] <big>\(\kappa</math> platí <big>\(\kappa\, < \, \kappa^{cf(\kappa)}</math>.
+* Pro každý nekonečný [[kardinální číslo|kardinál]] <big>\(\kappa\)</big> platí <big>\(\kappa\, < \, \kappa^{cf(\kappa)}\)</big>.
 == Související články ==