Homeomorfismus

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Verze z 14. 8. 2022, 14:48

Homeomorfismus (z řeckého homeos = stejný, morphe = tvar) je vzájemně jednoznačné zobrazení mezi topologickými prostory, které zachovává topologické vlastnosti. Homeomorfismus je tedy jiný název pro izomorfismus topologických prostorů. Dva prostory, mezi kterými je homeomorfismus se nazývají homeomorfní. Z pohledu topologie jsou stejné (mají stejné vlastnosti).

Definice

Zobrazení \(f:X \rightarrow Y</math> se nazývá homeomorfismus, pokud

je bijektivní
je spojité
Inverzní zobrazení \(f^{-1}:Y \rightarrow X</math> je spojité.

Pokud existuje homeomorfismus \(X</math> na \(Y</math>, jsou prostory \(X</math> a \(Y</math> homeomorfní. Homeomorfismy jsou ekvivalence na třídách topologických prostorů.

Příklady

Identické zobrazení na topologickém prostoru je vždy spojité a proto je homeomorfismem. Jiná je však situace, pokud na jedné množině uvažujeme dvě různé topologie (tedy dva různé seznamy otevřených množin). Například na reálných číslech můžeme uvažovat obvyklou topologii a diskrétní topologii (v níž je každá množina otevřená i uzavřená). Identické zobrazení z topologického prostoru (A, T₁) do (A, T₂) je homeomorfismem, právě když T₁ = T₂, tedy pokud T₁ a T₂ označují tutéž topologickou strukturu.

Otevřený interval (-1, 1) je homeomorfní množině reálných čísel, příkladem je homeomorfismus \(x \rightarrow \operatorname{tg}\ \pi x / 2</math>.

Související články

Homomorfismus

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 3: / Řádka 3: @@
 == Definice ==
-[[Zobrazení (matematika)|Zobrazení]] <math>f:X \rightarrow Y</math> se nazývá '''homeomorfismus''', pokud
+[[Zobrazení (matematika)|Zobrazení]] <big>\(f:X \rightarrow Y</math> se nazývá '''homeomorfismus''', pokud
 # je [[bijekce|bijektivní]]
 # je [[spojité zobrazení|spojité]]
-# [[Inverzní zobrazení]] <math>f^{-1}:Y \rightarrow X</math> je spojité.
+# [[Inverzní zobrazení]] <big>\(f^{-1}:Y \rightarrow X</math> je spojité.
-Pokud existuje homeomorfismus <math>X</math> [[Zobrazení na|na]] <math>Y</math>, jsou prostory <math>X</math> a <math>Y</math> '''homeomorfní'''. Homeomorfismy jsou [[Ekvivalence (matematika)|ekvivalence]] na [[Třída ekvivalence|třídách]] topologických prostorů.
+Pokud existuje homeomorfismus <big>\(X</math> [[Zobrazení na|na]] <big>\(Y</math>, jsou prostory <big>\(X</math> a <big>\(Y</math> '''homeomorfní'''. Homeomorfismy jsou [[Ekvivalence (matematika)|ekvivalence]] na [[Třída ekvivalence|třídách]] topologických prostorů.
 == Příklady ==
@@ Řádka 15: / Řádka 15: @@
 * [[Identita (matematika)|Identické zobrazení]] na [[Topologický prostor|topologickém prostoru]] je vždy [[spojitost|spojité]] a proto je homeomorfismem. Jiná je však situace, pokud na jedné množině uvažujeme dvě různé topologie (tedy dva různé [[Topologický prostor#Definice|seznamy otevřených množin]]). Například na reálných číslech můžeme uvažovat obvyklou topologii a [[Diskrétní topologie|diskrétní topologii]] (v níž je každá množina otevřená i uzavřená). Identické zobrazení z topologického prostoru (A, T<sub>1</sub>) do (A, T<sub>2</sub>) je homeomorfismem, právě když T<sub>1</sub> = T<sub>2</sub>, tedy pokud T<sub>1</sub> a T<sub>2</sub> označují tutéž topologickou strukturu.
-* Otevřený [[Interval (matematika)|interval]] (-1, 1) je homeomorfní množině [[Reálné číslo|reálných čísel]], příkladem je homeomorfismus <math>x \rightarrow \operatorname{tg}\ \pi x / 2</math>.
+* Otevřený [[Interval (matematika)|interval]] (-1, 1) je homeomorfní množině [[Reálné číslo|reálných čísel]], příkladem je homeomorfismus <big>\(x \rightarrow \operatorname{tg}\ \pi x / 2</math>.
 <!-- * Elementární funkce sin x, cos x a e<sup>x</sup> jsou [[spojitost|spojité]] na R s [[Eukleidova topologie|Eukleidovou
 topologií]]. Funkce tg x, ln x jsou spojité na svém definičním oboru. -->