Minkowského prostor

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:52

Minkowského prostor se používá k popisu časoprostoru ve speciální teorii relativity. Matematicky jde o 4-rozměrný reálný lineární vektorový prostor se skalárním součinem. Změnu inerciální vztažné soustavy odpovídající Lorentzově transformaci lze chápat geometricky jako otáčení v Minkowského prostoru. Stejnou rotací přitom projdou čtyřvektory všech fyzikálních veličin.

Složky vektoru

Vektor v Minkowského prostoru \(\mathbf{a}=a^{\mu}\mathbf{e}_{\mu}\) má 4 souřadnice

\(a^\mu = \left( a^0, a^1, a^2, a^3 \right)\,.\)

První z nich nazýváme časová složka nebo časová komponenta \(t\), ostatní tři odpovídají prostorovým souřadnicím \(x,y,z\). Někdy se na časové ose používá jiné měřítko, což odpovídá konvenci měření času v sekundách a vzdálenosti v metrech. Přepočet mezi sekundou a metrem je dán rychlostí světla ve vakuu \(c=299792458\ \mathrm{m.s^{-1}}\). V tomto článku předpokládáme na všech osách stejné měřítko, což odpovídá \(c=1\). Vizte též přirozená soustava jednotek.

Skalární součin

Skalární součin dvou vektorů v Minkowského prostoru (\(\mathbf{a}=a^{\mu}\mathbf{e}_{\mu},\ \mathbf{b}=b^{\mu}\mathbf{e}_{\mu}\) ) je definován vztahem

\(\langle \mathbf{a},\mathbf{b} \rangle \equiv a_\mu b^\mu = \eta_{\mu \nu} a^\mu b^\nu = -a_0b_0+a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\,.\)

Jako v eukleidovském prostoru, dva vektory nazýváme kolmými (ortogonálními), jestliže jejich skalární součin je roven nule.

Minkowského norma

Norma vektoru v Minkowského prostoru má trochu jiné vlastnosti než Eukleidovská norma, protože popisuje odlišnou geometrii. Předně, Minkowského norma není pozitivně definitní, může tedy nabývat i záporných hodnot. Je definována jako skalární součin vektoru se sebou samým.

\(||\mathbf{a}||^2 =\langle \mathbf{a},\mathbf{a} \rangle =-a_0^2+a_1^2+a_2^2+a_3^2\)

Vektor je nazýván jednotkovým, pokud platí \(||\mathbf{a}||^2=\pm 1\).

Báze

Standardní bázi Minkowského prostoru tvoří 4 ortogonální jednotkové vektory \(\mathbf{e}_0,\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3\), pro které platí

\(-||\mathbf{e}_0||^2 = ||\mathbf{e}_1||^2 = ||\mathbf{e}_2||^2 = ||\mathbf{e}_3||^2 = 1\,.\)

Tuto podmínku lze stručně zapsat jako

\(\langle \mathbf{e}_\mu, \mathbf{e}_\nu \rangle = \eta_{\mu\nu}\,,\)

kde \(\eta\) je diagonální matice

\(\eta=\operatorname{diag}\left(-1,1,1,1\right)=\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}\,.\)

Související články

Externí odkazy

Minkowského prostor v encyklopedii MathWorld (anglicky)

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 2: / Řádka 2: @@
 == Složky vektoru ==
-Vektor v Minkowského prostoru  <math>\mathbf{a}=a^{\mu}\mathbf{e}_{\mu}</math> má 4 souřadnice
+Vektor v Minkowského prostoru  <big>\(\mathbf{a}=a^{\mu}\mathbf{e}_{\mu}\)</big> má 4 souřadnice
-:<math>a^\mu = \left( a^0, a^1, a^2, a^3 \right)\,.</math>
+:<big>\(a^\mu = \left( a^0, a^1, a^2, a^3 \right)\,.\)</big>
-První z nich nazýváme časová složka nebo časová komponenta <math>t</math>, ostatní tři odpovídají prostorovým souřadnicím <math>x,y,z</math>. Někdy se na časové ose používá jiné měřítko, což odpovídá konvenci měření času v sekundách a vzdálenosti v metrech. Přepočet mezi [[sekunda|sekundou]] a [[metr]]em je dán [[rychlost světla|rychlostí světla]] ve vakuu <math>c=299792458\ \mathrm{m.s^{-1}}</math>. V tomto článku předpokládáme na všech osách stejné měřítko, což odpovídá <math>c=1</math>. Vizte též [[přirozená soustava jednotek]].
+První z nich nazýváme časová složka nebo časová komponenta <big>\(t\)</big>, ostatní tři odpovídají prostorovým souřadnicím <big>\(x,y,z\)</big>. Někdy se na časové ose používá jiné měřítko, což odpovídá konvenci měření času v sekundách a vzdálenosti v metrech. Přepočet mezi [[sekunda|sekundou]] a [[metr]]em je dán [[rychlost světla|rychlostí světla]] ve vakuu <big>\(c=299792458\ \mathrm{m.s^{-1}}\)</big>. V tomto článku předpokládáme na všech osách stejné měřítko, což odpovídá <big>\(c=1\)</big>. Vizte též [[přirozená soustava jednotek]].
 == Skalární součin ==
-[[Skalární součin]] dvou vektorů v Minkowského prostoru (<math>\mathbf{a}=a^{\mu}\mathbf{e}_{\mu},\ \mathbf{b}=b^{\mu}\mathbf{e}_{\mu}</math> ) je definován vztahem
+[[Skalární součin]] dvou vektorů v Minkowského prostoru (<big>\(\mathbf{a}=a^{\mu}\mathbf{e}_{\mu},\ \mathbf{b}=b^{\mu}\mathbf{e}_{\mu}\)</big> ) je definován vztahem
-:<math>\langle \mathbf{a},\mathbf{b} \rangle \equiv a_\mu b^\mu = \eta_{\mu \nu} a^\mu b^\nu = -a_0b_0+a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\,.</math>
+:<big>\(\langle \mathbf{a},\mathbf{b} \rangle \equiv a_\mu b^\mu = \eta_{\mu \nu} a^\mu b^\nu = -a_0b_0+a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\,.\)</big>
 Jako v [[Eukleidovský prostor|eukleidovském prostoru]], dva vektory nazýváme kolmými (ortogonálními), jestliže jejich skalární součin je roven nule.
 == Minkowského norma ==
 Norma vektoru v Minkowského prostoru má trochu jiné vlastnosti než [[Eukleidovská norma]], protože popisuje odlišnou geometrii. Předně, Minkowského norma není pozitivně definitní, může tedy nabývat i záporných hodnot. Je definována jako skalární součin vektoru se sebou samým.
-:<math>||\mathbf{a}||^2 =\langle \mathbf{a},\mathbf{a} \rangle  =-a_0^2+a_1^2+a_2^2+a_3^2</math>
+:<big>\(||\mathbf{a}||^2 =\langle \mathbf{a},\mathbf{a} \rangle  =-a_0^2+a_1^2+a_2^2+a_3^2\)</big>
-Vektor je nazýván jednotkovým, pokud platí <math>||\mathbf{a}||^2=\pm 1</math>.
+Vektor je nazýván jednotkovým, pokud platí <big>\(||\mathbf{a}||^2=\pm 1\)</big>.
 == Báze ==
-Standardní bázi Minkowského prostoru tvoří 4 [[ortogonalita|ortogonální]] jednotkové vektory <math>\mathbf{e}_0,\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3</math>, pro které platí
+Standardní bázi Minkowského prostoru tvoří 4 [[ortogonalita|ortogonální]] jednotkové vektory <big>\(\mathbf{e}_0,\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3\)</big>, pro které platí
-:<math>-||\mathbf{e}_0||^2 = ||\mathbf{e}_1||^2 = ||\mathbf{e}_2||^2 = ||\mathbf{e}_3||^2 = 1\,.</math>
+:<big>\(-||\mathbf{e}_0||^2 = ||\mathbf{e}_1||^2 = ||\mathbf{e}_2||^2 = ||\mathbf{e}_3||^2 = 1\,.\)</big>
 Tuto podmínku lze stručně zapsat jako
-:<math>\langle \mathbf{e}_\mu, \mathbf{e}_\nu \rangle = \eta_{\mu\nu}\,,</math>
+:<big>\(\langle \mathbf{e}_\mu, \mathbf{e}_\nu \rangle = \eta_{\mu\nu}\,,\)</big>
-kde <math>\eta</math> je diagonální matice
+kde <big>\(\eta\)</big> je diagonální matice
-:<math>\eta=\operatorname{diag}\left(-1,1,1,1\right)=\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}\,.</math>
+:<big>\(\eta=\operatorname{diag}\left(-1,1,1,1\right)=\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}\,.\)</big>
 == Související články ==