V sobotu 2. listopadu proběhla mohutná oslava naší plnoletosti !!
Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!
V tiskové zprávě k 18. narozeninám brzy najdete nové a zásadní informace.

Prvočíselná věta

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“)
 
(Nejsou zobrazeny 2 mezilehlé verze.)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Prvočíselná věta|700}}
+
'''Prvočíselná věta''' je důležitý poznatek z oboru [[teorie čísel]], který hrubě popisuje rozmístění [[prvočíslo|prvočísel]] mezi [[přirozené číslo|přirozenými čísly]].
 +
Zhruba se dá prvočíselná věta vyjádřit tak, že když vybereme náhodně číslo blízko nějakého velkého čísla ''N'', pak pravděpodobnost, že naše číslo bude prvočíslem, je přibližně 1/ln(''N''), kde ln(''N'') značí [[logaritmus|přirozený logaritmus]] ''N''. Např. kolem ''N'' = 10,000 je přibližně jedno z devíti čísel prvočíslem, zatímco poblíž např. ''N'' = 1,000,000,000 je pouze jedno z 21 čísel prvočíslem. Jinými slovy můžeme říct, že průměrná mezera mezi dvěma prvočísly blízko ''N'' je zhruba ln(''N'').
 +
 +
== Vyjádření věty ==
 +
Nechť π(''x'') je [[prvočíselná funkce]], která nám udává počet prvočísel menších nebo rovných ''x'' pro jakékoliv reálné ''x''. Např. π(10)&nbsp;=&nbsp;4 neboť existují právě čtyři prvočísla (2, 3, 5 a 7) menší nebo rovna 10. Prvočíselná věta poté říká, že limita podílu funkcí π(''x'') a ''x'' / ln(''x''), kde ''x'' jde k nekonečnu, je 1, což vyjadřujeme vzorcem
 +
 +
: <big>\(\lim_{x\to\infty}\frac{\pi(x)}{x/\ln(x)}=1,\)</big>
 +
 +
Pomocí asymptotické notace můžeme totéž vyjádřit také zápisem
 +
 +
:<big>\(\pi(x)\sim\frac{x}{\ln x}.\)</big>
 +
 +
Podstatné je, že vzorec neříká nic o rozdílu těchto dvou funkcí, když x jde k nekonečnu. Chování tohoto rozdílu je ve skutečnosti velmi komplikované a je spojeno s jedním z nejdůležitějších nevyřešených problému matematiky: [[Riemannova hypotéza|Riemannovou domněnkou]]. Věta namísto toho vyjadřuje, že výraz ''x''/ln(''x'') aproximuje π(''x'') v tom smyslu, že [[chyba aproximace]] se blíží k nule, když se ''x'' blíží k nekonečnu.
 +
 +
Ekvivalentním tvrzením je taktéž to, že ''n''-té prvočíslo ''p''<sub>''n''</sub> je přibližně rovno ''n'' ln(''n''); opět s [[chyba aproximace|chybou aproximace]] blížící se nule, když se ''n'' blíží nekonečnu.
 +
 +
== Stručná historie ==
 +
Konkrétnější úvahy nad asymptotickým vyjádřením četnosti prvočísel se nacházejí již u [[Carl Friedrich Gauss|Carla Friedricha Gausse]] na přelomu 18. a 19.&nbsp;století. Během 19. století se pokusili PČV dokázat [[P. L. Čebyšev]] a [[Bernhard Riemann|G. F. B. Riemann]]. Avšak první důkaz podali nezávisle na sobě francouzský matematik [[Jacques Hadamard]] <ref>{{citace monografie
 +
| jméno = J.
 +
| příjmení = Hadamard
 +
| titul = Sur la distribution des zéros de la fonction <big>\(\zeta (s)\)</big> et ses conséquences arithmétiques
 +
| vydavatel = Bulletin Société Mathématique de France
 +
| rok = 1896
 +
}}</ref> a belgický matematik [[Charles Jean de la Vallée-Poussin]] <ref>{{citace monografie
 +
| jméno = Ch. J.
 +
| příjmení = de la Vallée-Poussin
 +
| titul = Recherches analytiques la théorie des nombres premiers
 +
| vydavatel = Ann. Soc. scient.
 +
| místo = Brusel
 +
| rok = 1896
 +
}}</ref> v roce 1896 s použitím složitých metod komplexní analýzy. Důkazem prvočíselné věty se poté zabývali další matematici v průběhu 20. století, kteří našli několik dalších důkazů. O mnoho jednodušší důkaz
 +
<ref>{{citace monografie
 +
| jméno = E.
 +
| příjmení = Landau
 +
| titul = Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen
 +
| vydavatel = Chelsea Publishing Company
 +
| místo = New York
 +
| rok = 1974
 +
}}</ref> podal německý matematik [[Edmund Landau]] v roce [[1909]] a v roce [[1949]] objevil elementární<!-- Elementární zde neznamená jednoduchý, ale že nebyl proveden pomocí metod komplexní analýzy. --> důkaz<ref>{{citace monografie
 +
| jméno = K. E.
 +
| příjmení = Aubert
 +
| jméno2 = E.
 +
| příjmení2 = Bombieri
 +
| jméno3 = D.
 +
| příjmení3 = Goldfeld
 +
| titul = Number Theory, Trace Formulas, and Discrete Groups
 +
| vydavatel = Academic Press
 +
| místo = Boston
 +
| rok = 1989
 +
}}</ref> nejprve norský matematik [[Atle Selberg]] a poté [[Paul Erdös]], který lehce upravil některé Selbergovy myšlenky ke konstrukci vlastního důkazu [http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC1063042/pdf/pnas01544-0034.pdf].
 +
 +
== Související články ==
 +
* [[Prvočíselná funkce]]
 +
== Reference ==
 +
<references />
 +
== Externí odkazy ==
 +
* {{MathWorld|id=PrimeNumberTheorem}}
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Prvočísla]]
[[Kategorie:Prvočísla]]
[[Kategorie:Matematické věty a důkazy]]
[[Kategorie:Matematické věty a důkazy]]
[[Kategorie:Teorie čísel]]
[[Kategorie:Teorie čísel]]

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:53

Prvočíselná věta je důležitý poznatek z oboru teorie čísel, který hrubě popisuje rozmístění prvočísel mezi přirozenými čísly.

Zhruba se dá prvočíselná věta vyjádřit tak, že když vybereme náhodně číslo blízko nějakého velkého čísla N, pak pravděpodobnost, že naše číslo bude prvočíslem, je přibližně 1/ln(N), kde ln(N) značí přirozený logaritmus N. Např. kolem N = 10,000 je přibližně jedno z devíti čísel prvočíslem, zatímco poblíž např. N = 1,000,000,000 je pouze jedno z 21 čísel prvočíslem. Jinými slovy můžeme říct, že průměrná mezera mezi dvěma prvočísly blízko N je zhruba ln(N).

Obsah

Vyjádření věty

Nechť π(x) je prvočíselná funkce, která nám udává počet prvočísel menších nebo rovných x pro jakékoliv reálné x. Např. π(10) = 4 neboť existují právě čtyři prvočísla (2, 3, 5 a 7) menší nebo rovna 10. Prvočíselná věta poté říká, že limita podílu funkcí π(x) a x / ln(x), kde x jde k nekonečnu, je 1, což vyjadřujeme vzorcem

\(\lim_{x\to\infty}\frac{\pi(x)}{x/\ln(x)}=1,\)

Pomocí asymptotické notace můžeme totéž vyjádřit také zápisem

\(\pi(x)\sim\frac{x}{\ln x}.\)

Podstatné je, že vzorec neříká nic o rozdílu těchto dvou funkcí, když x jde k nekonečnu. Chování tohoto rozdílu je ve skutečnosti velmi komplikované a je spojeno s jedním z nejdůležitějších nevyřešených problému matematiky: Riemannovou domněnkou. Věta namísto toho vyjadřuje, že výraz x/ln(x) aproximuje π(x) v tom smyslu, že chyba aproximace se blíží k nule, když se x blíží k nekonečnu.

Ekvivalentním tvrzením je taktéž to, že n-té prvočíslo pn je přibližně rovno n ln(n); opět s chybou aproximace blížící se nule, když se n blíží nekonečnu.

Stručná historie

Konkrétnější úvahy nad asymptotickým vyjádřením četnosti prvočísel se nacházejí již u Carla Friedricha Gausse na přelomu 18. a 19. století. Během 19. století se pokusili PČV dokázat P. L. Čebyšev a G. F. B. Riemann. Avšak první důkaz podali nezávisle na sobě francouzský matematik Jacques Hadamard [1] a belgický matematik Charles Jean de la Vallée-Poussin [2] v roce 1896 s použitím složitých metod komplexní analýzy. Důkazem prvočíselné věty se poté zabývali další matematici v průběhu 20. století, kteří našli několik dalších důkazů. O mnoho jednodušší důkaz [3] podal německý matematik Edmund Landau v roce 1909 a v roce 1949 objevil elementární důkaz[4] nejprve norský matematik Atle Selberg a poté Paul Erdös, který lehce upravil některé Selbergovy myšlenky ke konstrukci vlastního důkazu [1].

Související články

Reference

  1. ↑ HADAMARD, J.. Sur la distribution des zéros de la fonction \(\zeta (s)\) et ses conséquences arithmétiques. [s.l.] : Bulletin Société Mathématique de France, 1896.  
  2. ↑ DE LA VALLÉE-POUSSIN, Ch. J.. Recherches analytiques la théorie des nombres premiers. Brusel : Ann. Soc. scient., 1896.  
  3. ↑ LANDAU, E.. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen. New York : Chelsea Publishing Company, 1974.  
  4. ↑ AUBERT, K. E.; BOMBIERI, E.; GOLDFELD, D.. Number Theory, Trace Formulas, and Discrete Groups. Boston : Academic Press, 1989.  

Externí odkazy


Citováno z „http://www2000.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Prvo%C4%8D%C3%ADseln%C3%A1_v%C4%9Bta“