Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!
V tiskové zprávě k 18. narozeninám brzy najdete nové a zásadní informace.
Carmichaelova funkce
Z Multimediaexpo.cz
m (Nahrazení textu „<math>“ textem „<big>\(“) |
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“) |
||
| Řádka 1: | Řádka 1: | ||
'''Carmichaelova funkce''', pojmenovaná po Robertu Danielovi Carmichaelovi (1879–1967) , je funkce z oboru [[teorie čísel]] značená λ(''n''), která pro [[přirozené číslo]] ''n'' vrátí nejmenší ''m'' takové, že | '''Carmichaelova funkce''', pojmenovaná po Robertu Danielovi Carmichaelovi (1879–1967) , je funkce z oboru [[teorie čísel]] značená λ(''n''), která pro [[přirozené číslo]] ''n'' vrátí nejmenší ''m'' takové, že | ||
| - | :<big>\(a^m \equiv 1 \pmod{n}</ | + | :<big>\(a^m \equiv 1 \pmod{n}\)</big> |
pro všechna přirozená čísla ''a'' menší než ''n'' a [[nesoudělnost|nesoudělná]] s ''n''. Tedy vrátí [[exponent grupy|exponent]] [[multiplikativní grupa zbytkových tříd|multiplikativní grupy celých čísel modulo ''n'']]. | pro všechna přirozená čísla ''a'' menší než ''n'' a [[nesoudělnost|nesoudělná]] s ''n''. Tedy vrátí [[exponent grupy|exponent]] [[multiplikativní grupa zbytkových tříd|multiplikativní grupy celých čísel modulo ''n'']]. | ||
| Řádka 9: | Řádka 9: | ||
Pro prvočíslo ''p'' a kladné celé číslo ''k'' takové, že ''p''≥3 nebo ''k''≤2 definujeme | Pro prvočíslo ''p'' a kladné celé číslo ''k'' takové, že ''p''≥3 nebo ''k''≤2 definujeme | ||
| - | :<big>\(\lambda(p^k) = p^{k-1}(p-1).\,</ | + | :<big>\(\lambda(p^k) = p^{k-1}(p-1).\,\)</big>, |
co zároveň odpovídá hodnotě [[Eulerova funkce|Eulerovy funkce]]. | co zároveň odpovídá hodnotě [[Eulerova funkce|Eulerovy funkce]]. | ||
Pro celá čísla ''k''≥3 definujeme | Pro celá čísla ''k''≥3 definujeme | ||
| - | :<big>\(\lambda(2^k) = 2^{k-2}\,</ | + | :<big>\(\lambda(2^k) = 2^{k-2}\,\)</big> |
| - | a pro různá prvočísla <big>\(p_1,p_2,\ldots,p_t</ | + | a pro různá prvočísla <big>\(p_1,p_2,\ldots,p_t\)</big> a kladná celá čísla <big>\(k_1,k_2,\ldots,k_t\)</big> definujeme |
| - | :<big>\(\lambda(p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_t^{k_t}) = \mathrm{NSN}( \lambda(p_1^{k_1}), \lambda(p_2^{k_2}), \ldots, \lambda(p_t^{k_t}) )</ | + | :<big>\(\lambda(p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_t^{k_t}) = \mathrm{NSN}( \lambda(p_1^{k_1}), \lambda(p_2^{k_2}), \ldots, \lambda(p_t^{k_t}) )\)</big> |
| - | kde <big>\(\mathrm{NSN}</ | + | kde <big>\(\mathrm{NSN}\)</big> značí nejmenší společný násobek. |
Jak je vidět, Carmichaelova věta zobecňuje výsledky [[Malá Fermatova věta|Malé Fermatovy věty]] a [[Eulerova věta (teorie čísel)|Eulerovy věty]]. | Jak je vidět, Carmichaelova věta zobecňuje výsledky [[Malá Fermatova věta|Malé Fermatovy věty]] a [[Eulerova věta (teorie čísel)|Eulerovy věty]]. | ||
Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:51
Carmichaelova funkce, pojmenovaná po Robertu Danielovi Carmichaelovi (1879–1967) , je funkce z oboru teorie čísel značená λ(n), která pro přirozené číslo n vrátí nejmenší m takové, že
- \(a^m \equiv 1 \pmod{n}\)
pro všechna přirozená čísla a menší než n a nesoudělná s n. Tedy vrátí exponent multiplikativní grupy celých čísel modulo n.
Prvních 26 hodnoto této funkce pro n = 1, 2, 3 … je 1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 2, 6, 4, 10, 2, 12, 6, 4, 4, 16, 6, 18, 4, 6, 10, 22, 2, 20, 12, …[1]
Carmichaelova věta
Carmichaelova věta říká, že Carmichaelovu funkci lze definovat se stejným výsledkem také pomocí rekurze:
Pro prvočíslo p a kladné celé číslo k takové, že p≥3 nebo k≤2 definujeme
- \(\lambda(p^k) = p^{k-1}(p-1).\,\),
co zároveň odpovídá hodnotě Eulerovy funkce.
Pro celá čísla k≥3 definujeme
- \(\lambda(2^k) = 2^{k-2}\,\)
a pro různá prvočísla \(p_1,p_2,\ldots,p_t\) a kladná celá čísla \(k_1,k_2,\ldots,k_t\) definujeme
- \(\lambda(p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_t^{k_t}) = \mathrm{NSN}( \lambda(p_1^{k_1}), \lambda(p_2^{k_2}), \ldots, \lambda(p_t^{k_t}) )\)
kde \(\mathrm{NSN}\) značí nejmenší společný násobek.
Jak je vidět, Carmichaelova věta zobecňuje výsledky Malé Fermatovy věty a Eulerovy věty.
Reference
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |