Vážený průměr

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
(+ Nový článek)
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“)
 
(Nejsou zobrazeny 3 mezilehlé verze.)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Vážený průměr|700}}
+
'''Vážený průměr''' zobecňuje [[aritmetický průměr]] a poskytuje charakteristiku statistického souboru v případě, že hodnoty v tomto souboru mají různou důležitost, různou váhu. Používá se zejména při počítání celkového aritmetického průměru souboru složeného z více podsouborů.
 +
Pro výpočet váženého průměru potřebujeme jednak hodnoty, jejichž průměr chceme spočítat, a zároveň jejich váhy.
 +
 +
Máme-li soubor <big>\(n\)</big> hodnot
 +
:<big>\(X = \{x_1, \ldots, x_n\}\)</big>
 +
a k nim odpovídající váhy
 +
:<big>\(W = \{w_1, \ldots, w_n\}\)</big>,
 +
je vážený průměr dán vzorcem
 +
:<big>\(\bar{x} = \frac{ \sum_{i=1}^n w_i x_i}{\sum_{i=1}^n w_i}\)</big>
 +
či
 +
:<big>\(\bar{x} = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + w_3 x_3 + ... + w_n x_n}{w_1 + w_2 + w_3 + ... + w_n}\)</big>
 +
 +
Pokud jsou všechny váhy stejné, je vážený průměr totožný s aritmetickým průměrem. Ačkoli se vážený průměr chová podobně jako aritmetický průměr, má několik nezvyklých vlastností, které jsou například vyjádřeny v [[Simpsonův paradox|Simpsonově paradoxu]].
 +
 +
Vážené verze jiných průměrů lze také spočítat. Příkladem je [[vážený geometrický průměr]] nebo [[vážený harmonický průměr]].
 +
 +
== Příklad ==
 +
 +
Řekněme, že škola má dvě třídy, jednu s 20 studenty a druhou s 32. Bodové ohodnocení v každé třídě při jednom testu bylo
 +
 +
* Třída A — 62, 67, 71, 74, 76, 77, 78, 79, 79, 80, 80, 81, 81, 82, 83, 84, 86, 89, 93, 98
 +
* Třída B — 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 87, 88, 88, 89, 89, 89, 90, 90, 90, 90, 91, 91, 91, 92, 92, 93, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100
 +
 +
Aritmetický průměr bodů ve třídě A je 80, ve třídě B je 90. Když spočítáme aritmetický průměr 80 a 90, dostaneme 85. Toto ovšem není aritmetický průměr bodů všech studentů. K jeho určení potřebujeme spočítat součet všech bodů a vydělit počtem všech studentů, tedy
 +
 +
:<big>\(\bar{x} = \frac{4480}{52} = 86,15385\)</big>
 +
 +
Nebo si můžeme pomoci váženým průměrem a spočítat vážený průměr průměrů bodů obou tříd použitím počtu studentů jako vah:
 +
 +
:<big>\(\bar{x} = \frac{20\cdot 80 + 32\cdot 90}{20 + 32} = 86,15385\)</big>
 +
 +
Nyní jsme již nepotřebovali znát, k spočtení aritmetického průměru všech bodů, jednotlivé známky, stačily nám pouze aritmetické průměry a počty studentů v jednotlivých třídách.
 +
 +
===Příklad z praxe===
 +
Průměrná denní [[Teplota#Meteorologie a klimatologie|teplota]] se v meteorologii stanovuje jako průměr z teploty vzduchu naměřené v 7 hodin, teploty ve 14 hodin a teploty v 21 hodin, přičemž poslední údaj se započítává s dvojnásobnou váhou. Platí tedy
 +
 +
:<big>\(\bar{t} = \frac{t_7 + t_{14} + 2\cdot t_{21}}{4}\)</big>
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Statistika]]
[[Kategorie:Statistika]]

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:54

Vážený průměr zobecňuje aritmetický průměr a poskytuje charakteristiku statistického souboru v případě, že hodnoty v tomto souboru mají různou důležitost, různou váhu. Používá se zejména při počítání celkového aritmetického průměru souboru složeného z více podsouborů.

Pro výpočet váženého průměru potřebujeme jednak hodnoty, jejichž průměr chceme spočítat, a zároveň jejich váhy.

Máme-li soubor \(n\) hodnot

\(X = \{x_1, \ldots, x_n\}\)

a k nim odpovídající váhy

\(W = \{w_1, \ldots, w_n\}\),

je vážený průměr dán vzorcem

\(\bar{x} = \frac{ \sum_{i=1}^n w_i x_i}{\sum_{i=1}^n w_i}\)

či

\(\bar{x} = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + w_3 x_3 + ... + w_n x_n}{w_1 + w_2 + w_3 + ... + w_n}\)

Pokud jsou všechny váhy stejné, je vážený průměr totožný s aritmetickým průměrem. Ačkoli se vážený průměr chová podobně jako aritmetický průměr, má několik nezvyklých vlastností, které jsou například vyjádřeny v Simpsonově paradoxu.

Vážené verze jiných průměrů lze také spočítat. Příkladem je vážený geometrický průměr nebo vážený harmonický průměr.

Příklad

Řekněme, že škola má dvě třídy, jednu s 20 studenty a druhou s 32. Bodové ohodnocení v každé třídě při jednom testu bylo

  • Třída A — 62, 67, 71, 74, 76, 77, 78, 79, 79, 80, 80, 81, 81, 82, 83, 84, 86, 89, 93, 98
  • Třída B — 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 87, 88, 88, 89, 89, 89, 90, 90, 90, 90, 91, 91, 91, 92, 92, 93, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100

Aritmetický průměr bodů ve třídě A je 80, ve třídě B je 90. Když spočítáme aritmetický průměr 80 a 90, dostaneme 85. Toto ovšem není aritmetický průměr bodů všech studentů. K jeho určení potřebujeme spočítat součet všech bodů a vydělit počtem všech studentů, tedy

\(\bar{x} = \frac{4480}{52} = 86,15385\)

Nebo si můžeme pomoci váženým průměrem a spočítat vážený průměr průměrů bodů obou tříd použitím počtu studentů jako vah:

\(\bar{x} = \frac{20\cdot 80 + 32\cdot 90}{20 + 32} = 86,15385\)

Nyní jsme již nepotřebovali znát, k spočtení aritmetického průměru všech bodů, jednotlivé známky, stačily nám pouze aritmetické průměry a počty studentů v jednotlivých třídách.

Příklad z praxe

Průměrná denní teplota se v meteorologii stanovuje jako průměr z teploty vzduchu naměřené v 7 hodin, teploty ve 14 hodin a teploty v 21 hodin, přičemž poslední údaj se započítává s dvojnásobnou váhou. Platí tedy

\(\bar{t} = \frac{t_7 + t_{14} + 2\cdot t_{21}}{4}\)


Citováno z „http://www2000.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/V%C3%A1%C5%BEen%C3%BD_pr%C5%AFm%C4%9Br“