Carmichaelova funkce

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:51

Carmichaelova funkce, pojmenovaná po Robertu Danielovi Carmichaelovi (1879–1967) , je funkce z oboru teorie čísel značená λ(n), která pro přirozené číslo n vrátí nejmenší m takové, že

\(a^m \equiv 1 \pmod{n}\)

pro všechna přirozená čísla a menší než n a nesoudělná s n. Tedy vrátí exponent multiplikativní grupy celých čísel modulo n.

Prvních 26 hodnoto této funkce pro n = 1, 2, 3 … je 1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 2, 6, 4, 10, 2, 12, 6, 4, 4, 16, 6, 18, 4, 6, 10, 22, 2, 20, 12, …^[1]

Carmichaelova věta

Carmichaelova věta říká, že Carmichaelovu funkci lze definovat se stejným výsledkem také pomocí rekurze:

Pro prvočíslo p a kladné celé číslo k takové, že p≥3 nebo k≤2 definujeme

\(\lambda(p^k) = p^{k-1}(p-1).\,\),

co zároveň odpovídá hodnotě Eulerovy funkce.

Pro celá čísla k≥3 definujeme

\(\lambda(2^k) = 2^{k-2}\,\)

a pro různá prvočísla \(p_1,p_2,\ldots,p_t\) a kladná celá čísla \(k_1,k_2,\ldots,k_t\) definujeme

\(\lambda(p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_t^{k_t}) = \mathrm{NSN}( \lambda(p_1^{k_1}), \lambda(p_2^{k_2}), \ldots, \lambda(p_t^{k_t}) )\)

kde \(\mathrm{NSN}\) značí nejmenší společný násobek.

Jak je vidět, Carmichaelova věta zobecňuje výsledky Malé Fermatovy věty a Eulerovy věty.

Reference

↑ tato posloupnost má v OEIS kód A002322

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

[0] tato posloupnost má v OEIS kód A002322

[1]

@@ Řádka 1: / Řádka 1: @@
 '''Carmichaelova funkce''', pojmenovaná po Robertu Danielovi Carmichaelovi (1879–1967) , je funkce z oboru [[teorie čísel]] značená λ(''n''), která pro [[přirozené číslo]] ''n'' vrátí nejmenší ''m'' takové, že
-:<math>a^m \equiv 1 \pmod{n}</math>
+:<big>\(a^m \equiv 1 \pmod{n}\)</big>
 pro všechna přirozená čísla ''a'' menší než ''n'' a [[nesoudělnost|nesoudělná]] s ''n''. Tedy vrátí [[exponent grupy|exponent]] [[multiplikativní grupa zbytkových tříd|multiplikativní grupy celých čísel modulo ''n'']].
@@ Řádka 9: / Řádka 9: @@
 Pro prvočíslo ''p'' a kladné celé číslo  ''k'' takové, že ''p''≥3 nebo ''k''≤2 definujeme
-:<math>\lambda(p^k) = p^{k-1}(p-1).\,</math>,
+:<big>\(\lambda(p^k) = p^{k-1}(p-1).\,\)</big>,
 co zároveň odpovídá hodnotě [[Eulerova funkce|Eulerovy funkce]].
 Pro celá čísla ''k''≥3 definujeme
-:<math>\lambda(2^k) = 2^{k-2}\,</math>
+:<big>\(\lambda(2^k) = 2^{k-2}\,\)</big>
-a pro různá prvočísla <math>p_1,p_2,\ldots,p_t</math> a kladná celá čísla <math>k_1,k_2,\ldots,k_t</math> definujeme
+a pro různá prvočísla <big>\(p_1,p_2,\ldots,p_t\)</big> a kladná celá čísla <big>\(k_1,k_2,\ldots,k_t\)</big> definujeme
-:<math>\lambda(p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_t^{k_t}) = \mathrm{NSN}( \lambda(p_1^{k_1}), \lambda(p_2^{k_2}), \ldots, \lambda(p_t^{k_t}) )</math>
+:<big>\(\lambda(p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_t^{k_t}) = \mathrm{NSN}( \lambda(p_1^{k_1}), \lambda(p_2^{k_2}), \ldots, \lambda(p_t^{k_t}) )\)</big>
-kde <math>\mathrm{NSN}</math> značí nejmenší společný násobek.
+kde <big>\(\mathrm{NSN}\)</big> značí nejmenší společný násobek.
 Jak je vidět, Carmichaelova věta zobecňuje výsledky [[Malá Fermatova věta|Malé Fermatovy věty]] a [[Eulerova věta (teorie čísel)|Eulerovy věty]].