Eulerova konstanta

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
(+ Masivní vylepšení)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Eulerova konstanta|700}}
+
{{Upravit}}<br />
 +
: ''Možná hledáte'': [[Eulerovo číslo]]
 +
'''Eulerova konstanta''' nebo též '''Eulerova–Mascheroniho konstanta''' je [[matematická konstanta]] používaná v [[teorie čísel|teorii čísel]] a v [[matematická analýza|analýze]]. O této konstantě není známo, zda je [[racionální číslo|racionální]] či [[iracionální číslo|iracionální]].<ref>{{MathWorld|Euler-MascheroniConstant}}</ref>
 +
Eulerova konstanta je přibližně rovna: 0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 … .<ref name="OEIS">[http://www.research.att.com/~njas/sequences/A001620 Eulerova konstanta na OEIS]</ref>
 +
 +
== Definice ==
 +
Nejsnadneji lze tuto konstantu definovat jako následující limitu:
 +
 +
<math>\gamma = \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots + \frac{1}{n}-\ln n \right)</math>
 +
 +
Je obecně známo, že harmonická řada vyskytující se v limitě je řadou divergentní, má tedy nekonečný součet. To že výše uvedená limita je vlastní označuje skutečnost, že pro velká <math>n</math> můžeme součet harmonické řady aproximovat přirozeným logaritmem, jenž je v nekonečnu taktéž nekonečný.
 +
 +
== Geometrická představa ==
 +
[[Soubor:Gamma-area.png|thumb|230px|Obsah modré plochy se rovná Eulerově konstantě]]
 +
Hodnotu konstanty <math>\gamma</math> si můžeme představit i geometricky. Zobrazíme-li grafy funkci
 +
 +
<math>f(x)=\frac{1}{\lfloor x \rfloor},</math>
 +
 +
<math>g(x)=\frac{1}{x},</math>
 +
 +
kde <math>\lfloor x \rfloor</math> značí (dolní) [[celá část|celou část]] čísla <math>x</math>, pak obsah plochy mezi těmito dvěma grafy pro x od 1 do nekonečna je právě roven Eulerově konstantě <math>\gamma</math>:
 +
 +
<math>\gamma= \int_1^\infty \left( \frac{1}{\lfloor x \rfloor} - \frac{1}{x}\right) dx.</math>
 +
 +
== Reference ==
 +
<references/>
 +
== Externí odkazy ==
 +
* {{MathWorld|Euler-MascheroniConstant}}
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Matematické konstanty]]
[[Kategorie:Matematické konstanty]]

Verze z 24. 10. 2014, 09:56

Broom icon.png Tento článek potřebuje úpravy. Můžete Multimediaexpo.cz pomoci tím, že ho vylepšíte.
Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl a Encyklopedický styl. 		Broom icon.png


Možná hledáte: Eulerovo číslo

Eulerova konstanta nebo též Eulerova–Mascheroniho konstanta je matematická konstanta používaná v teorii čísel a v analýze. O této konstantě není známo, zda je racionální či iracionální.[1]

Eulerova konstanta je přibližně rovna: 0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 … .[2]

Obsah

Definice

Nejsnadneji lze tuto konstantu definovat jako následující limitu:

<math>\gamma = \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots + \frac{1}{n}-\ln n \right)</math>

Je obecně známo, že harmonická řada vyskytující se v limitě je řadou divergentní, má tedy nekonečný součet. To že výše uvedená limita je vlastní označuje skutečnost, že pro velká <math>n</math> můžeme součet harmonické řady aproximovat přirozeným logaritmem, jenž je v nekonečnu taktéž nekonečný.

Geometrická představa

Obsah modré plochy se rovná Eulerově konstantě

Hodnotu konstanty <math>\gamma</math> si můžeme představit i geometricky. Zobrazíme-li grafy funkci

<math>f(x)=\frac{1}{\lfloor x \rfloor},</math>

<math>g(x)=\frac{1}{x},</math>

kde <math>\lfloor x \rfloor</math> značí (dolní) celou část čísla <math>x</math>, pak obsah plochy mezi těmito dvěma grafy pro x od 1 do nekonečna je právě roven Eulerově konstantě <math>\gamma</math>:

<math>\gamma= \int_1^\infty \left( \frac{1}{\lfloor x \rfloor} - \frac{1}{x}\right) dx.</math>

Reference

  1. ↑ Eulerova konstanta v encyklopedii MathWorld (anglicky)
  2. ↑ Eulerova konstanta na OEIS

Externí odkazy


Citováno z „http://www2000.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Eulerova_konstanta“