Vzdálenost bodu od přímky

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
(+ Masivní vylepšení)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Vzdálenost bodu od přímky|700}}
+
{{Upravit}}
 +
== V rovině (v π <sub>2</sub>) ==
 +
<br />
 +
Vzdálenost bodu ''A[x<sub>a</sub>, y<sub>a</sub>]'' od přímky ''p'' v rovině najdeme tak, že nejprve odhalíme souřadnice kolmého průmětu ''X'' bodu ''A'' na přímku ''p''. Bod ''X'' je průsečíkem přímky ''p'' a přímky ''q'', která prochází bodem ''A'' a je kolmá na ''p''. Proto nejdřív musíme najít přímku ''q'', pro kterou musí platit, že její směrový vektor je normálový vektor přímky ''p'':
 +
<br />
 +
Rovnici přímky ''p'' upravíme na obecný tvar:
 +
: <math>ax + by + c = 0</math>
 +
Z této rovnice získáme normálový vektor přímky ''p'':
 +
: <math>\mathbf{n} = (a;b)</math>
 +
Tento normálový vektor je směrovým vektorem přímky ''q'', proto normálový vektor přímky ''q'' je:
 +
:  <math>\mathbf{u} = (-b;a)</math>
 +
Takže obecná rovnice přímky ''q'' má následující tvar:
 +
: <math>-bx + ay + d = 0</math>
 +
Proměnnou ''d'' získáme dosazením souřadnic bodu ''A'' do rovnice:
 +
: <math>d = bx_a - ay_a</math>
 +
Nyní už jen dořešíme soustavu dvou lineárních rovnic, ze které získáme souřadnice bodu X a tyto souřadnice dosadíme spolu se souřadnicemi bodu A do vzorečku pro vzdálenost dvou bodů v rovině:
 +
: <math>\left| AX \right| = \sqrt{\left( x_a - x_x \right)^2 + \left( y_a - y_x \right)^2}</math>
 +
Tímto postupem lze získat obecný vzoreček pro vzdálenost bodu od přímky v rovině:
 +
<math>v = \frac{\left|ax_a + by_a + c\right|}{\sqrt{a^2 + b^2}}</math>
 +
== V prostoru (v π <sub>3</sub>) ==
 +
<br />
 +
Postup v prostoru je analogický s tím v rovině. Pouze tentokrát nebudeme hledat průsečík přímky ''p'' a na ní kolmé přímky ''q'', ale průsečík přímky ''p'' a roviny ρ, která je kolmá na ''p'' a leží v ní bod ''A''. Rovnici roviny ρ získáme stejným postupem jako předtím, musíme mít pouze na paměti, že přímku v prostoru nelze určit jedinou lineární rovnicí. Vzoreček pro vzdálenost dvou bodů v prostoru je podobný jako v rovině, pouze přibude jeden výraz:
 +
: <math>\left| AX \right| = \sqrt{\left( x_a - x_x \right)^2 + \left( y_a - y_x \right)^2 + \left( z_a - z_x \right)^2}</math>
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Geometrie]]

Verze z 24. 10. 2014, 09:30

Broom icon.png Tento článek potřebuje úpravy. Můžete Multimediaexpo.cz pomoci tím, že ho vylepšíte.
Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl a Encyklopedický styl. 		Broom icon.png

V rovině (v π 2)


Vzdálenost bodu A[xa, ya] od přímky p v rovině najdeme tak, že nejprve odhalíme souřadnice kolmého průmětu X bodu A na přímku p. Bod X je průsečíkem přímky p a přímky q, která prochází bodem A a je kolmá na p. Proto nejdřív musíme najít přímku q, pro kterou musí platit, že její směrový vektor je normálový vektor přímky p:
Rovnici přímky p upravíme na obecný tvar:

<math>ax + by + c = 0</math>

Z této rovnice získáme normálový vektor přímky p:

<math>\mathbf{n} = (a;b)</math>

Tento normálový vektor je směrovým vektorem přímky q, proto normálový vektor přímky q je:

<math>\mathbf{u} = (-b;a)</math>

Takže obecná rovnice přímky q má následující tvar:

<math>-bx + ay + d = 0</math>

Proměnnou d získáme dosazením souřadnic bodu A do rovnice:

<math>d = bx_a - ay_a</math>

Nyní už jen dořešíme soustavu dvou lineárních rovnic, ze které získáme souřadnice bodu X a tyto souřadnice dosadíme spolu se souřadnicemi bodu A do vzorečku pro vzdálenost dvou bodů v rovině:

<math>\left| AX \right| = \sqrt{\left( x_a - x_x \right)^2 + \left( y_a - y_x \right)^2}</math>

Tímto postupem lze získat obecný vzoreček pro vzdálenost bodu od přímky v rovině: <math>v = \frac{\left|ax_a + by_a + c\right|}{\sqrt{a^2 + b^2}}</math>

V prostoru (v π 3)


Postup v prostoru je analogický s tím v rovině. Pouze tentokrát nebudeme hledat průsečík přímky p a na ní kolmé přímky q, ale průsečík přímky p a roviny ρ, která je kolmá na p a leží v ní bod A. Rovnici roviny ρ získáme stejným postupem jako předtím, musíme mít pouze na paměti, že přímku v prostoru nelze určit jedinou lineární rovnicí. Vzoreček pro vzdálenost dvou bodů v prostoru je podobný jako v rovině, pouze přibude jeden výraz:

<math>\left| AX \right| = \sqrt{\left( x_a - x_x \right)^2 + \left( y_a - y_x \right)^2 + \left( z_a - z_x \right)^2}</math>


Citováno z „http://www2000.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Vzd%C3%A1lenost_bodu_od_p%C5%99%C3%ADmky“