Centrální moment

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
(+ Masivní vylepšení)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Centrální moment|700}}
+
'''Centrální moment''' je pojem z [[matematická statistika|matematické statistiky]]. Pro [[přirozené číslo]] <math>k</math> je k-tý centrální moment jisté [[reálné číslo]]  charakterizující [[rozdělení pravděpodobnosti|rozdělení]] [[Náhodná veličina|náhodné veličiny]].
 +
''K''-tý centrální moment se označuje  <math>\mu_k</math>.
 +
== Definice ==
 +
 +
''K''-tý centrální moment náhodné veličiny <math>X</math> je definován vzorcem
 +
 +
:<math>\mu_k = \operatorname{E}\left[(X - \mu)^k\right]</math>,
 +
 +
kde <math>\mu</math> je [[střední hodnota]] dané veličiny (pokud má vzorec smysl).
 +
 +
Pro diskrétní náhodné veličiny lze psát
 +
 +
:<math>\mu_k = \sum_{i=1}^\infty(x_i - \mu)^kp_i</math>,
 +
 +
kde <math>p_i</math> je [[pravděpodobnost]], že <math>X</math> nabývá hodnoty <math>x_i</math>.
 +
 +
Pro spojité náhodné veličiny na [[Reálné číslo|reálných číslech]] lze psát
 +
 +
:<math>\mu_k = \int_{-\infty}^\infty (x-\mu)^kf(x)\operatorname{d}x</math>,
 +
 +
kde <math>f(x)</math> je [[Hustota rozdělení pravděpodobnosti|hustota rozdělení]] dané veličiny.
 +
 +
=== Označení centrálních momentů ===
 +
 +
První centrální moment je vždy roven 0.
 +
 +
Druhý centrální moment se nazývá [[rozptyl (statistika)|rozptyl]] a označuje se symbolem <math>\sigma^2</math> nebo <math>\operatorname{var}\,X</math>.
 +
 +
Třetí a čtvrtý centrální moment jsou součástí definice [[Koeficient šikmosti|šikmosti]] a [[Koeficient špičatosti|špičatosti]].
 +
 +
== Vlastnosti ==
 +
 +
Centrální moment je nezávislý na posunu o konstantu, tj.
 +
 +
:<math>\mu_k\left(X+c\right) = \mu_k(X)</math>
 +
 +
Pro násobení konstantou platí
 +
 +
:<math>\mu_k\left(cX\right) = c^k\mu_k(X)</math>
 +
 +
Pro <math>k\leq 3</math> a nezávislé náhodné veličiny <math>X, Y</math> platí
 +
 +
:<math>\mu_k\left(X+Y\right) = \mu_k(X) + \mu_k(Y)</math>
 +
 +
Mezi centrálními momenty a [[Obecný moment|obecnými momenty]] je vztah
 +
 +
:<math>\mu_k = \sum_{i=0}^k\binom{k}{i}(-1)^{k-i}\mu^{k-i}\mu_i^\prime</math>,
 +
 +
kde <math>\mu</math> je střední hodnota a <math>\mu_i^\prime</math> je ''i''-tý obecný moment.
 +
 +
== Výběrový centrální moment ==
 +
 +
'''Výběrový centrální moment''' je definován vzorcem
 +
 +
<math> m_k = \frac1n\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)^k </math>
 +
 +
Výběrový centrální moment je [[nevyvážený]] odhad centrálního momentu, vyvážené odhady jsou:
 +
 +
* <math>M_2 &= \frac{n}{n-1}k_2 = \frac1{n-1}\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)^2</math>
 +
* <math>M_3 &= \frac{n^2}{(n-1)(n-2)}m_3</math>
 +
* <math>M_4 &= \frac{n^2}{(n-1)(n-2)(n-3)}(n+1)m_4 - 3(n-1)m_2^2</math>
 +
 +
== Reference ==
 +
<references/>
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Statistika]]
[[Kategorie:Statistika]]

Verze z 30. 8. 2014, 23:25

Centrální moment je pojem z matematické statistiky. Pro přirozené číslo <math>k</math> je k-tý centrální moment jisté reálné číslo charakterizující rozdělení náhodné veličiny. K-tý centrální moment se označuje <math>\mu_k</math>.

Obsah

Definice

K-tý centrální moment náhodné veličiny <math>X</math> je definován vzorcem

<math>\mu_k = \operatorname{E}\left[(X - \mu)^k\right]</math>,

kde <math>\mu</math> je střední hodnota dané veličiny (pokud má vzorec smysl).

Pro diskrétní náhodné veličiny lze psát

<math>\mu_k = \sum_{i=1}^\infty(x_i - \mu)^kp_i</math>,

kde <math>p_i</math> je pravděpodobnost, že <math>X</math> nabývá hodnoty <math>x_i</math>.

Pro spojité náhodné veličiny na reálných číslech lze psát

<math>\mu_k = \int_{-\infty}^\infty (x-\mu)^kf(x)\operatorname{d}x</math>,

kde <math>f(x)</math> je hustota rozdělení dané veličiny.

Označení centrálních momentů

První centrální moment je vždy roven 0.

Druhý centrální moment se nazývá rozptyl a označuje se symbolem <math>\sigma^2</math> nebo <math>\operatorname{var}\,X</math>.

Třetí a čtvrtý centrální moment jsou součástí definice šikmosti a špičatosti.

Vlastnosti

Centrální moment je nezávislý na posunu o konstantu, tj.

<math>\mu_k\left(X+c\right) = \mu_k(X)</math>

Pro násobení konstantou platí

<math>\mu_k\left(cX\right) = c^k\mu_k(X)</math>

Pro <math>k\leq 3</math> a nezávislé náhodné veličiny <math>X, Y</math> platí

<math>\mu_k\left(X+Y\right) = \mu_k(X) + \mu_k(Y)</math>

Mezi centrálními momenty a obecnými momenty je vztah

<math>\mu_k = \sum_{i=0}^k\binom{k}{i}(-1)^{k-i}\mu^{k-i}\mu_i^\prime</math>,

kde <math>\mu</math> je střední hodnota a <math>\mu_i^\prime</math> je i-tý obecný moment.

Výběrový centrální moment

Výběrový centrální moment je definován vzorcem

<math> m_k = \frac1n\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)^k </math>

Výběrový centrální moment je nevyvážený odhad centrálního momentu, vyvážené odhady jsou:

  • <math>M_2 &= \frac{n}{n-1}k_2 = \frac1{n-1}\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)^2</math>
  • <math>M_3 &= \frac{n^2}{(n-1)(n-2)}m_3</math>
  • <math>M_4 &= \frac{n^2}{(n-1)(n-2)(n-3)}(n+1)m_4 - 3(n-1)m_2^2</math>

Reference


Citováno z „http://www2000.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Centr%C3%A1ln%C3%AD_moment“