The English encyclopedia Allmultimedia.org will be launched in two phases.
The final launch of the Allmultimedia.org will take place on February 24, 2026
(shortly after the 2026 Winter Olympics).

Gravitační potenciál

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
(+ Masivní vylepšení)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Gravitační potenciál|700}}
+
'''Gravitační potenciál''' je [[skalární veličina|skalární fyzikální veličina]], která vyčísluje [[potenciální energie|potenciální energii]] tělesa o jednotkové hmotnosti (v jednotkách SI 1 kg) v gravitačním poli ostatních těles. Za místo s nulovým potenciálem se obvykle bere nekonečně vzdálený bod. Hodnota gravitačního potenciálu je proto záporná.
 +
Protože gravitační potenciál vyjadřuje měrnou energii, je jeho jednotkou v soustavě SI joule na kilogram (J/kg).
 +
 +
[[Gradient]]em gravitačního potenciálu je [[gravitační zrychlení]].
 +
 +
== Gravitační potenciál hmotného bodu a kulově souměrného tělesa ==
 +
Gravitační potenciál hmotného bodu je v newtonovské fyzice vyjádřen vzorcem
 +
:<math>\phi(r) = -\frac{GM}{r},</math>
 +
* <math>G</math> je [[gravitační konstanta]] (někdy označována také <math>\kappa</math>)
 +
* <math>M</math> je hmotnost hmotného bodu
 +
* <math>r</math> je vzdálenost od hmotného bodu
 +
 +
Stejný vzorec platí (přesně) i pro gravitační potenciál vně sféricky symetrického tělesa (nad jeho povrchem), '''r''' pak vyjadřuje vzdálenost od středu takového tělesa. Proto lze například v astronomii nahradit ve výpočtech kosmická tělesa hmotnými body.
 +
 +
Gravitační potenciál sféricky symetrické kulové slupky je v dutině této slupky všude stejný. Gravitační zrychlení a tedy i tíha, způsobené touto slupkou, jsou proto uvnitř nulové. To umožňuje spočítat gravitační potenciál pod povrchem planet: pro výpočet se zahrne jen hmota planety, mající větší hloubku, než místo, pro nějž se potenciál počítá (Přesně to však platí pouze tehdy, je-li v dané hloubce hustota všude stejná).
 +
 +
Rychlost tělesa na kruhové dráze je v tomto potenciálu rovna Keplerovské rychlosti
 +
 +
<math>v_k=\sqrt{\frac{GM}{r}},</math>
 +
 +
Úniková rychlost je
 +
 +
<math>v_{esc}=\sqrt{\frac{2GM}{r}}=\sqrt{2} \ v_k.</math>
 +
 +
== Plummerův potenciál ==
 +
Protože se hmotný bod špatně integruje, je nutné ho šikovně "rozmazat". Jedním ze způsobů, jak to udělat, je použít Plummerovu sféru, jejíž potenciál je
 +
 +
<math>\phi_P(r) = -\frac{GM}{\sqrt{r^2 + b^2}},</math>
 +
 +
kde <math>b</math> je parametr.
 +
 +
Z Poissonovy rovnice pak odvodíme funkční závislost hustoty <math>\rho</math> na poloměru <math>r</math>.
 +
 +
<math>\rho_P(r) = \frac{3M}{4\pi b^3}\left(1+\frac{r^2}{b^2}\right)^{-5/2}</math>
 +
 +
Přičemž tato hustota jde do nekonečna, ale nediverguje.
 +
 +
== Kuzminův potenciál ==
 +
Analogie Plummerovy sféry ve válcových souřadnicích (opět "rozmazáváme" potenciál hmotného bodu).
 +
 +
<math>\phi_K(R, z) = -\frac{GM}{\sqrt{R^2 + \left(a + |z|\right)^2}},</math>
 +
* <math>R</math> je vzdálenost v rovině xy
 +
* <math>a</math> je parametr
 +
* <math>|z|</math> je absolutní hodnota vzdálenosti ve směru osy z.
 +
Poissonova rovnice ve válcových souřadnicích vede na povrchovou hustotu
 +
 +
<math>\Sigma_K(R) = \frac{aM}{2\pi \left(R^2 + a^2\right)^{3/2}}.</math>
 +
 +
== Miyamoto−Nagai potenciál ==
 +
Toto je zobecnění všech předchozích potenciálů.
 +
 +
<math>\phi_{MN}(R,z) = -\frac{GM}{\sqrt{R^2 + \left(a + \sqrt{z^2 + b^2}\right)^2}}.</math>
 +
 +
Pokud
 +
* <math>a = 0</math> a <math>b=0</math> ... přechází v potenciál hmotného bodu, neboť <math>r = \sqrt{R^2 + z^2}</math>
 +
* <math>a=0</math> a <math>b \neq 0</math> ... přechází v Plummerův potenciál
 +
* <math>a \neq 0</math> a <math>b=0</math> ... přechází v Kuzminův potenciál, neboť <math>|z| = \sqrt{z^2}</math>.
 +
Tedy pokud je <math>b \ll a</math>, odpovídá to přibližně rozložení potenciálu disku s centrální výdutí (např. galaxie), pokud je <math>b \gg a</math>, dostáváme přibližně potenciál koule.
 +
 +
Z Poissonovy rovnice lze odvodit hustota
 +
 +
<math>\rho_{MN}(R,z) = \left(\frac{b^2 M}{4\pi}\right) \frac{aR^2 + \left(a+3\sqrt{z^2 + b^2}\right)\left(a + \sqrt{z^2 + b^2}\right)^2}{\left[R^2 + \left(a+\sqrt{z^2 + b^2}\right)^2\right]^{5/2} \left(z^2 + b^2\right)^{3/2}}</math>
 +
 +
== Související články ==
 +
* [[Geoid]]
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Gravitace]]
[[Kategorie:Gravitace]]

Verze z 7. 8. 2014, 16:22

Gravitační potenciál je skalární fyzikální veličina, která vyčísluje potenciální energii tělesa o jednotkové hmotnosti (v jednotkách SI 1 kg) v gravitačním poli ostatních těles. Za místo s nulovým potenciálem se obvykle bere nekonečně vzdálený bod. Hodnota gravitačního potenciálu je proto záporná.

Protože gravitační potenciál vyjadřuje měrnou energii, je jeho jednotkou v soustavě SI joule na kilogram (J/kg).

Gradientem gravitačního potenciálu je gravitační zrychlení.

Obsah

Gravitační potenciál hmotného bodu a kulově souměrného tělesa

Gravitační potenciál hmotného bodu je v newtonovské fyzice vyjádřen vzorcem

<math>\phi(r) = -\frac{GM}{r},</math>
  • <math>G</math> je gravitační konstanta (někdy označována také <math>\kappa</math>)
  • <math>M</math> je hmotnost hmotného bodu
  • <math>r</math> je vzdálenost od hmotného bodu

Stejný vzorec platí (přesně) i pro gravitační potenciál vně sféricky symetrického tělesa (nad jeho povrchem), r pak vyjadřuje vzdálenost od středu takového tělesa. Proto lze například v astronomii nahradit ve výpočtech kosmická tělesa hmotnými body.

Gravitační potenciál sféricky symetrické kulové slupky je v dutině této slupky všude stejný. Gravitační zrychlení a tedy i tíha, způsobené touto slupkou, jsou proto uvnitř nulové. To umožňuje spočítat gravitační potenciál pod povrchem planet: pro výpočet se zahrne jen hmota planety, mající větší hloubku, než místo, pro nějž se potenciál počítá (Přesně to však platí pouze tehdy, je-li v dané hloubce hustota všude stejná).

Rychlost tělesa na kruhové dráze je v tomto potenciálu rovna Keplerovské rychlosti

<math>v_k=\sqrt{\frac{GM}{r}},</math>

Úniková rychlost je

<math>v_{esc}=\sqrt{\frac{2GM}{r}}=\sqrt{2} \ v_k.</math>

Plummerův potenciál

Protože se hmotný bod špatně integruje, je nutné ho šikovně "rozmazat". Jedním ze způsobů, jak to udělat, je použít Plummerovu sféru, jejíž potenciál je

<math>\phi_P(r) = -\frac{GM}{\sqrt{r^2 + b^2}},</math>

kde <math>b</math> je parametr.

Z Poissonovy rovnice pak odvodíme funkční závislost hustoty <math>\rho</math> na poloměru <math>r</math>.

<math>\rho_P(r) = \frac{3M}{4\pi b^3}\left(1+\frac{r^2}{b^2}\right)^{-5/2}</math>

Přičemž tato hustota jde do nekonečna, ale nediverguje.

Kuzminův potenciál

Analogie Plummerovy sféry ve válcových souřadnicích (opět "rozmazáváme" potenciál hmotného bodu).

<math>\phi_K(R, z) = -\frac{GM}{\sqrt{R^2 + \left(a + |z|\right)^2}},</math>

  • <math>R</math> je vzdálenost v rovině xy
  • <math>a</math> je parametr
  • <math>|z|</math> je absolutní hodnota vzdálenosti ve směru osy z.

Poissonova rovnice ve válcových souřadnicích vede na povrchovou hustotu

<math>\Sigma_K(R) = \frac{aM}{2\pi \left(R^2 + a^2\right)^{3/2}}.</math>

Miyamoto−Nagai potenciál

Toto je zobecnění všech předchozích potenciálů.

<math>\phi_{MN}(R,z) = -\frac{GM}{\sqrt{R^2 + \left(a + \sqrt{z^2 + b^2}\right)^2}}.</math>

Pokud

  • <math>a = 0</math> a <math>b=0</math> ... přechází v potenciál hmotného bodu, neboť <math>r = \sqrt{R^2 + z^2}</math>
  • <math>a=0</math> a <math>b \neq 0</math> ... přechází v Plummerův potenciál
  • <math>a \neq 0</math> a <math>b=0</math> ... přechází v Kuzminův potenciál, neboť <math>|z| = \sqrt{z^2}</math>.

Tedy pokud je <math>b \ll a</math>, odpovídá to přibližně rozložení potenciálu disku s centrální výdutí (např. galaxie), pokud je <math>b \gg a</math>, dostáváme přibližně potenciál koule.

Z Poissonovy rovnice lze odvodit hustota

<math>\rho_{MN}(R,z) = \left(\frac{b^2 M}{4\pi}\right) \frac{aR^2 + \left(a+3\sqrt{z^2 + b^2}\right)\left(a + \sqrt{z^2 + b^2}\right)^2}{\left[R^2 + \left(a+\sqrt{z^2 + b^2}\right)^2\right]^{5/2} \left(z^2 + b^2\right)^{3/2}}</math>

Související články


Citováno z „http://www2000.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Gravita%C4%8Dn%C3%AD_potenci%C3%A1l“