Kleinova-Gordonova rovnice

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
(+ Masivní vylepšení...podpora Matematických formulí opět funguje na 105 procent...:-))
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Kleinova-Gordonova rovnice|700}}
+
'''Kleinova-Gordonova rovnice''' je [[pohybová rovnice]] v jedné z [[speciální teorie relativity|relativistických]] formulací [[kvantová mechanika|kvantové mechaniky]]. Je pojmenována po [[Oskar Klein|Oskaru Kleinovi]] a [[Walter Gordon|Walteru Gordonovi]], nezávisle na nich ji ale odvodil také [[Vladimir Alexandrovič Fok]]. Popisuje chování částic s nulovým [[spin]]em (tzv. skalární [[mezon]]y). Jde o parciální [[diferenciální rovnice|diferenciální rovnici]] druhého řádu.
 +
:<math>\left( \square - {m^2c^2\over\hbar^2} \right)\psi = 0</math>
 +
Zde <math>m</math> je klidová [[hmotnost]] částice, <math>c</math> je [[rychlost světla]] ve vakuu, <math>\hbar</math> je redukovaná [[Planckova konstanta]], <math>\psi</math> je [[vlnová funkce]] a <math>\square</math> je [[d'Alembertův operátor]] obsahující druhé [[parciální derivace]] podle času a kartézských souřadnic polohy.
 +
: <math>\square = \Delta - {1\over c^2}{\partial^2\over\partial t^2}={\partial^2\over\partial x^2} + {\partial^2\over\partial y^2} + {\partial^2\over\partial z^2} - {1\over c^2}{\partial^2\over\partial t^2}</math>
 +
(<math>\Delta=\nabla\cdot\nabla</math> je [[Laplaceův operátor]], <math>\nabla</math> je operátor [[nabla]], tečka značí [[skalární součin]].)
 +
== Motivace ==
 +
Důvodem k náhradě [[Schrödingerova rovnice|Schrödingerovy rovnice]] jinou pohybovou rovnicí je fakt, že nezohledňuje [[speciální teorie relativity|speciální teorii relativity]]. Proto nemůže být správná v situacích, kdy [[rychlost]]i částic jsou řádově srovnatelné s rychlostí světla ve vakuu. Vztah pro [[Hamiltonián]]
 +
:<math>\hat{H} = \hat{T} + \hat{V} ={\hat{\mathbf{p}}^2\over 2m}+V</math>
 +
vychází z [[Newtonova mechanika|newtonovského]] výrazu pro [[kinetická energie|kinetickou energii]] <math>T = m\mathbf{v}^2/2 = \mathbf{p}^2/\left(2m\right)</math>, který při velkých rychlostech neplatí. Navíc Schrödingerova rovnice obsahuje první parciální derivaci vlnové funkce podle času a druhé derivace podle prostorových souřadnic, takže není invariantní vůči [[Lorentzovy transformace|Lorentzovým transformacím]].
 +
 +
== Odvození ==
 +
Energie ve speciální relativitě je dána velikostí [[čtyřvektor]]u energie-hybnosti. Druhá mocnina jeho velikosti je
 +
:<math>E^2=c^2\mathbf{p}^2+m^2c^4\,,</math>
 +
kde <math>m</math> je klidová [[hmotnost]] částice, <math>\mathbf{p}</math> je [[vektor]] hybnosti a <math>c</math> je [[rychlost světla]] ve vakuu. Kleinovu-Gordonovu rovnici dostaneme dosazením kvantových operátorů pro [[energie|energii]] a [[hybnost]] do tohoto vztahu.
 +
:<math>\hat{E} = i\hbar {\partial\over\partial t}</math>
 +
:<math>\hat{p} = -i\hbar\nabla</math>
 +
(Konstanta <math>i</math> je [[imaginární jednotka]].) Rovnost operátorů chápeme ve smyslu stejného působení na vlnovou funkci a dostáváme:
 +
:<math>-\hbar^2{\partial^2\psi\over\partial t^2} = -\hbar^2c^2\Delta\psi + m^2c^4\psi\,.</math>
 +
Rovnici vydělíme <math>\hbar^2c^2</math>, odečteme pravou stranu a získáme
 +
:<math>\Delta\psi-{1\over c^2}{\partial^2\psi\over\partial t^2} - {m^2c^2\over\hbar^2}\psi = 0\,,</math>
 +
kde je na levé straně již vidět působení operátoru <math>\square</math> na vlnovou funkci. Obdrželi jsme tedy Kleinovu-Gordonovu rovnici.
 +
 +
Při přechodu do jiné [[inerciální vztažná soustava|inerciální vztažné soustavy]], čili pri Lorentzových transformacích, se d'Alembertův operátor chová jako [[skalár]], tedy právě jako konstanta <math>\left(mc/\hbar\right)^2</math>, kde <math>m</math> je klidová hmotnost. Rovnice je tedy v souladu se speciální teorií relativity a z tohoto hlediska správně popisuje chování vlnové funkce.
 +
 +
V jednorozměrném případě stačí vzít v úvahu pouze ''x''-ovou část vektoru hybnosti. Příslušný operátor je <math>\hat{p_x} = -i\hbar\left(\partial/\partial x\right)</math> a Kleinova-Gordonova rovnice přejde na tvar
 +
:<math>{\partial^2\psi\over\partial x^2} - {1\over c^2}{\partial^2\psi\over\partial t^2} = {m^2c^2\over\hbar^2}\psi \,.</math>
 +
 +
== Problémy ==
 +
Kleinova-Gordonova rovnice je rovnicí druhého řádu v čase. To znamená, že pro její řešení je nutné jako [[počáteční podmínky|počáteční podmínku]] zadat nejen vlnovou funkci <math>\psi\left(\mathbf{r},t\right)</math> v okamžiku <math>t=t_0</math>, ale zároveň i její [[derivace|derivaci]] <math>\partial\psi/\partial t</math>. V důsledku z toho také plyne, že veličina
 +
:<math>\rho = {i\hbar\over2mc^2}\left( \psi^*{\partial\psi\over\partial t}-\psi{\partial\psi^*\over\partial t} \right)\,,</math>
 +
která by měla odpovídat [[hustota pravděpodobnosti|hustotě pravděpodobnosti]], může nabývat i záporných hodnot. To vedlo [[Paul Dirac|Paula Diraca]] ke hledání lepší pohybové rovnice, které dnes říkáme [[Diracova rovnice]]. Při jejím odvození předpověděl Dirac existenci [[antihmota|antihmoty]] a také zcela novou fyzikální veličinu ([[spin]]), která nemá v klasické fyzice analogii. Bez těchto úvah nelze problémy Kleinovy-Gordonovy rovnice korektně vyřešit, takže popisuje správně pouze částice s nulovým spinem.
 +
 +
== Související články ==
 +
* [[Schrödingerova rovnice]]
 +
* [[Diracova rovnice]]
 +
* [[Pohybová rovnice]]
 +
 +
== Externí odkazy ==
 +
* {{MathWorld|id=Klein-GordonEquation}}
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Kvantová fyzika]]
[[Kategorie:Kvantová fyzika]]
[[Kategorie:Speciální teorie relativity]]
[[Kategorie:Speciální teorie relativity]]

Verze z 24. 2. 2014, 00:08

Kleinova-Gordonova rovnice je pohybová rovnice v jedné z relativistických formulací kvantové mechaniky. Je pojmenována po Oskaru Kleinovi a Walteru Gordonovi, nezávisle na nich ji ale odvodil také Vladimir Alexandrovič Fok. Popisuje chování částic s nulovým spinem (tzv. skalární mezony). Jde o parciální diferenciální rovnici druhého řádu.

<math>\left( \square - {m^2c^2\over\hbar^2} \right)\psi = 0</math>

Zde <math>m</math> je klidová hmotnost částice, <math>c</math> je rychlost světla ve vakuu, <math>\hbar</math> je redukovaná Planckova konstanta, <math>\psi</math> je vlnová funkce a <math>\square</math> je d'Alembertův operátor obsahující druhé parciální derivace podle času a kartézských souřadnic polohy.

<math>\square = \Delta - {1\over c^2}{\partial^2\over\partial t^2}={\partial^2\over\partial x^2} + {\partial^2\over\partial y^2} + {\partial^2\over\partial z^2} - {1\over c^2}{\partial^2\over\partial t^2}</math>

(<math>\Delta=\nabla\cdot\nabla</math> je Laplaceův operátor, <math>\nabla</math> je operátor nabla, tečka značí skalární součin.)

Obsah

Motivace

Důvodem k náhradě Schrödingerovy rovnice jinou pohybovou rovnicí je fakt, že nezohledňuje speciální teorii relativity. Proto nemůže být správná v situacích, kdy rychlosti částic jsou řádově srovnatelné s rychlostí světla ve vakuu. Vztah pro Hamiltonián

<math>\hat{H} = \hat{T} + \hat{V} ={\hat{\mathbf{p}}^2\over 2m}+V</math>

vychází z newtonovského výrazu pro kinetickou energii <math>T = m\mathbf{v}^2/2 = \mathbf{p}^2/\left(2m\right)</math>, který při velkých rychlostech neplatí. Navíc Schrödingerova rovnice obsahuje první parciální derivaci vlnové funkce podle času a druhé derivace podle prostorových souřadnic, takže není invariantní vůči Lorentzovým transformacím.

Odvození

Energie ve speciální relativitě je dána velikostí čtyřvektoru energie-hybnosti. Druhá mocnina jeho velikosti je

<math>E^2=c^2\mathbf{p}^2+m^2c^4\,,</math>

kde <math>m</math> je klidová hmotnost částice, <math>\mathbf{p}</math> je vektor hybnosti a <math>c</math> je rychlost světla ve vakuu. Kleinovu-Gordonovu rovnici dostaneme dosazením kvantových operátorů pro energii a hybnost do tohoto vztahu.

<math>\hat{E} = i\hbar {\partial\over\partial t}</math>
<math>\hat{p} = -i\hbar\nabla</math>

(Konstanta <math>i</math> je imaginární jednotka.) Rovnost operátorů chápeme ve smyslu stejného působení na vlnovou funkci a dostáváme:

<math>-\hbar^2{\partial^2\psi\over\partial t^2} = -\hbar^2c^2\Delta\psi + m^2c^4\psi\,.</math>

Rovnici vydělíme <math>\hbar^2c^2</math>, odečteme pravou stranu a získáme

<math>\Delta\psi-{1\over c^2}{\partial^2\psi\over\partial t^2} - {m^2c^2\over\hbar^2}\psi = 0\,,</math>

kde je na levé straně již vidět působení operátoru <math>\square</math> na vlnovou funkci. Obdrželi jsme tedy Kleinovu-Gordonovu rovnici.

Při přechodu do jiné inerciální vztažné soustavy, čili pri Lorentzových transformacích, se d'Alembertův operátor chová jako skalár, tedy právě jako konstanta <math>\left(mc/\hbar\right)^2</math>, kde <math>m</math> je klidová hmotnost. Rovnice je tedy v souladu se speciální teorií relativity a z tohoto hlediska správně popisuje chování vlnové funkce.

V jednorozměrném případě stačí vzít v úvahu pouze x-ovou část vektoru hybnosti. Příslušný operátor je <math>\hat{p_x} = -i\hbar\left(\partial/\partial x\right)</math> a Kleinova-Gordonova rovnice přejde na tvar

<math>{\partial^2\psi\over\partial x^2} - {1\over c^2}{\partial^2\psi\over\partial t^2} = {m^2c^2\over\hbar^2}\psi \,.</math>

Problémy

Kleinova-Gordonova rovnice je rovnicí druhého řádu v čase. To znamená, že pro její řešení je nutné jako počáteční podmínku zadat nejen vlnovou funkci <math>\psi\left(\mathbf{r},t\right)</math> v okamžiku <math>t=t_0</math>, ale zároveň i její derivaci <math>\partial\psi/\partial t</math>. V důsledku z toho také plyne, že veličina

<math>\rho = {i\hbar\over2mc^2}\left( \psi^*{\partial\psi\over\partial t}-\psi{\partial\psi^*\over\partial t} \right)\,,</math>

která by měla odpovídat hustotě pravděpodobnosti, může nabývat i záporných hodnot. To vedlo Paula Diraca ke hledání lepší pohybové rovnice, které dnes říkáme Diracova rovnice. Při jejím odvození předpověděl Dirac existenci antihmoty a také zcela novou fyzikální veličinu (spin), která nemá v klasické fyzice analogii. Bez těchto úvah nelze problémy Kleinovy-Gordonovy rovnice korektně vyřešit, takže popisuje správně pouze částice s nulovým spinem.

Související články

Externí odkazy


Citováno z „http://www2000.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Kleinova-Gordonova_rovnice“