Koeficient šikmosti

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
(+ Výrazné vylepšení)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Koeficient šikmosti|700}}
+
'''Koeficient šikmosti''' je [[Charakteristika náhodné veličiny|charakteristika]] rozdělení [[Náhodná veličina|náhodné veličiny]], která popisuje jeho nesymetrii. Označuje se symbolem <math>\gamma_1</math>.
 +
==Definice==
 +
Koeficient šikmosti je definován jako
 +
 +
:<math>\gamma_1 = \frac{\mu_3}{\sigma^3} = \frac{\operatorname{E}[X-\operatorname{E}(X)]^3}{(\operatorname{var}\,X)^{3/2}}</math>,
 +
 +
kde <math>\mu_3</math> je třetí [[centrální moment]], <math>\sigma</math> je [[směrodatná odchylka]], <math>\operatorname{E}(X)</math> je [[střední hodnota]] a <math>\operatorname{var}\,X</math> je [[rozptyl (statistika)|rozptyl]].
 +
 +
==Vlastnosti==
 +
Nulová šikmost značí, že hodnoty náhodné veličiny jsou rovnoměrně rozděleny vlevo a vpravo od střední hodnoty. Kladná šikmost značí, že vpravo od průměru se vyskytují odlehlejší hodnoty nežli vlevo (rozdělení má tzv. ''pravý ocas'') a většina hodnot se nachází blízko vlevo od průměru. U záporné šikmosti je tomu naopak.
 +
 +
Symetrická rozdělení včetně [[Normální rozdělení|normálního rozdělení]] mají šikmost nula.
 +
 +
Pro rozdělení s kladnou šikmostí obvykle platí, že jeho [[modus]] je menší nežli [[medián]] a ten je menší nežli střední hodnota. Pro zápornou šikmost opět naopak.
 +
 +
==Výběrový koeficient šikmosti==
 +
 +
Výběrový koeficient šikmosti je definován vzorcem
 +
 +
:<math>g_1 = \frac{m_3}{m_2^{3/2}} = \sqrt{n}\frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^3}{\left(\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2 \right)^{\frac{3}{2}}}</math>,
 +
 +
kde <math>\overline{x}</math> je [[Výběrový průměr|výběrový průměr]], <math>m_2</math> je [[výběrový rozptyl]] a <math>m_3</math> je třetí [[Centrální moment#Výběrový centrální moment|výběrový centrální moment]].
 +
 +
Tento odhad je [[Vychýlený odhad|vychýlený]]. Méně vychýlené odhady dostaneme, když místo výběrových centrálních momentů použijeme nevychýlené odhady centrálních momentů:<ref>{{cite web|title=Estimating and Comparing Kurtosis and Skewness from and Arbitrary Population|url=http://www.misug.org/mifolder/LAn_Skewness_Kurtosis.pdf|publisher=Michigan SAS Users Group|accessdate=18 July 2011}}</ref>
 +
 +
<math>
 +
\begin{align}
 +
G_1 = \frac{M_3}{M_2^{3/2}} &= \frac{\sqrt{n(n-1)}}{n-2}g_1 \\
 +
b_1 = \frac{m_3}{M_2^{3/2}} &= \left(\frac{n-1}{n}\right)^{2/3}g_1
 +
\end{align}
 +
</math>
 +
 +
Pro rozptyly těchto odhadů platí <math>\operatorname{var}\,b_1 < \operatorname{var}\,g_1 < \operatorname{var}\,G_1</math>.
 +
 +
== Reference ==
 +
<references/>
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Statistika]]
[[Kategorie:Statistika]]

Verze z 19. 2. 2014, 10:21

Koeficient šikmosti je charakteristika rozdělení náhodné veličiny, která popisuje jeho nesymetrii. Označuje se symbolem <math>\gamma_1</math>.

Obsah

Definice

Koeficient šikmosti je definován jako

<math>\gamma_1 = \frac{\mu_3}{\sigma^3} = \frac{\operatorname{E}[X-\operatorname{E}(X)]^3}{(\operatorname{var}\,X)^{3/2}}</math>,

kde <math>\mu_3</math> je třetí centrální moment, <math>\sigma</math> je směrodatná odchylka, <math>\operatorname{E}(X)</math> je střední hodnota a <math>\operatorname{var}\,X</math> je rozptyl.

Vlastnosti

Nulová šikmost značí, že hodnoty náhodné veličiny jsou rovnoměrně rozděleny vlevo a vpravo od střední hodnoty. Kladná šikmost značí, že vpravo od průměru se vyskytují odlehlejší hodnoty nežli vlevo (rozdělení má tzv. pravý ocas) a většina hodnot se nachází blízko vlevo od průměru. U záporné šikmosti je tomu naopak.

Symetrická rozdělení včetně normálního rozdělení mají šikmost nula.

Pro rozdělení s kladnou šikmostí obvykle platí, že jeho modus je menší nežli medián a ten je menší nežli střední hodnota. Pro zápornou šikmost opět naopak.

Výběrový koeficient šikmosti

Výběrový koeficient šikmosti je definován vzorcem

<math>g_1 = \frac{m_3}{m_2^{3/2}} = \sqrt{n}\frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^3}{\left(\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2 \right)^{\frac{3}{2}}}</math>,

kde <math>\overline{x}</math> je výběrový průměr, <math>m_2</math> je výběrový rozptyl a <math>m_3</math> je třetí výběrový centrální moment.

Tento odhad je vychýlený. Méně vychýlené odhady dostaneme, když místo výběrových centrálních momentů použijeme nevychýlené odhady centrálních momentů:[1]

<math> \begin{align} G_1 = \frac{M_3}{M_2^{3/2}} &= \frac{\sqrt{n(n-1)}}{n-2}g_1 \\ b_1 = \frac{m_3}{M_2^{3/2}} &= \left(\frac{n-1}{n}\right)^{2/3}g_1 \end{align} </math>

Pro rozptyly těchto odhadů platí <math>\operatorname{var}\,b_1 < \operatorname{var}\,g_1 < \operatorname{var}\,G_1</math>.

Reference

  1. ↑ . Dostupné online.  


Citováno z „http://www2000.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Koeficient_%C5%A1ikmosti“