Kužel

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:52

Tento článek potřebuje úpravy. Můžete Multimediaexpo.cz pomoci tím, že ho vylepšíte.
Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl a Encyklopedický styl.

Obecný kužel.

Rotační kužel (vlevo) a kosý kužel (vpravo).

Kužel je oblé těleso, které získáme jako průnik kuželového prostoru a rovinné vrstvy. Část kuželové plochy, která tvoří povrch kužele je označována jako plášť kužele. Řez kuželového prostoru hraniční rovinou vrstvy se nazývá podstava. Plášť kužele a podstavu nazýváme společným názvem povrch kužele. Bod, ve kterém se rovinný řez kužele redukuje na bod, se označuje jako vrchol kužele. Kolmou vzdálenost mezi podstavou a vrcholem nazýváme výškou kužele. Vzdálenost mezi vrcholem a podstavou podél pláště nazýváme stranou kužele. Je-li podstavou kužele kruh, pak jej označíme jako kruhový. Pokud kolmice spuštěná z vrcholu na rovinu podstavy prochází středem podstavy kruhového kužele, pak kužel označujeme jako rotační kužel nebo kolmý kruhový kužel. Pokud kruhový kužel není kolmý, pak jej označujeme jako kosý.

Obsah

1 Kuželová plocha a prostor
- 1.1 Rovnice
2 Vlastnosti
3 Rotační kužel
- 3.1 Vlastnosti
- 3.2 Kuželosečky
4 Související články

Kuželová plocha a prostor

Kuželový prostor.

Mějme jednoduchou uzavřenou křivku \(k\), která leží v rovině. Body, které leží přímkách procházejících libovolným bodem křivky \(k\) a bodem \(V\) ležícím mimo rovinu křivky \(k\) tvoří kuželovou plochu. Část prostoru ohraničená kuželovou plochou se nazývá kuželový prostor. Kuželová plocha je množina bodů v prostoru, která vznikne z kužele tím, že odstraním podstavu a každou úsečku pláště (tj. spojnici vrcholu kužele s bodem hranice podstavy) prodloužím na přímku. Nejlepší představa je taková ,že se jedná o dva středově souměrné (podle vrcholu kužele) kornouty jdoucí do nekonečna.

Rovnice

Kuželová plocha (kvadratický kužel) s vrcholem v počátku, která v rovině \(z=c\) prochází elipsou \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) (tzv. řídící křivka), má rovnici

\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0\)

Přímky, které tvoří povrch kužele se nazývají tvořící přímky. Tato plocha je asymptotickou plochou (asymptotickým kuželem) hyperboloidů

\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=\pm 1\)

Pro \(a=b\) jde o rotační kužel s osou rotace \(z\). Kuželovou plochu s vrcholem v bodě \([x_0,y_0,z_0]\) je vždy možné vyjádřit rovnicí

\(F\left(\frac{x-x_0}{z-z_0},\frac{y-y_0}{z-z_0}\right)=0\)

Vlastnosti

Pro objem kužele platí

\(V = \frac{1}{3} \cdot S_p \cdot v\),

kde \(S_p\) je obsah podstavy a \(v\) je výška kužele.

Rotační kužel

Rotační kužel.

Rotační kužel je rotační těleso vzniklé otáčením pravoúhlého trojúhelníku v prostoru okolo jedné z odvěsen. Otáčením druhé odvěsny vznikne kruhová podstava kužele (někdy také nazývaná jako základna kužele), otáčením přepony pak kuželová plocha nebo jinak plášť kužele. Tento plášť je v podstatě „stočená“ kruhová výseč, jejíž úhel záleží na poměru výšky kužele a poloměru podstavy. Společný vrchol přepony a osy otáčení nazýváme vrchol kužele.

Vlastnosti

Označíme-li \(r\) poloměr kruhové podstavy kužele a \(h\) výšku kužele (t.j. vzdálenost vrcholu kužele od základny), pak lze vypočítat:

poloměr pláště (tj. vzdálenost vrcholu kužele od hraniční kružnice podstavy neboli délku strany pláště) pomocí Pythagorovy věty jako

\( s = \sqrt{r^2 + h^2} \,\! \)

objem kužele jako

\( V = \frac{\pi r^2 h}{3} \,\! \)

povrch kužele jako součet obsahu podstavy \( S_p = \pi r^2 \,\! \) a obsahu pláště \( S_{pl} = \pi r s \,\! \)

\( S = S_p + S_{pl} = \pi r (r + s) \,\! \)

Symetrické vlastnosti
- Kužel není středově souměrný.
- Kužel je osově souměrný podle spojnice vrcholu kužele se středem podstavy.
- Kužel je rovinově souměrný podle nekonečně mnoha rovin - rovinou souměrnosti je každá rovina, která v sobě obsahuje jeho osu (tj. vrchol a střed podstavy).
V jistém smyslu je kužel „limitním případem“ posloupnosti pravidelných n-bokých jehlanů pro n jdoucí do nekonečna. To je ostatně vidět i ze vzorce pro objem, který je hodně podobný vzorci pro objem jehlanu.

Kuželosečky

Z geometrického pohledu jsou zajímavé řezy rotační kuželové plochy, tj. průniky této plochy s nějakou rovinou. Singulární řezy kužele - pokud rovina řezu prochází vrcholem kužele, mohou nastat tři případy:

průnikem je bod (vrchol kužele), pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, větší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou
průnikem je přímka ležící na kuželové ploše, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele rovný úhlu, který svírají přímky kuželové plochy s její osou
průnikem jsou dvě přímky, které se protínají ve vrcholu kužele, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, menší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou (nebo v případě, kdy je rovina řezu rovnoběžná s osou kužele)

Regulární řezy kužele - pokud rovina řezu neprochází vrcholem kužele, mohou nastat čtyři případy:

průnikem je kružnice, pokud je rovina řezu kolmá na osu kužele
průnikem je elipsa, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, větší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou, ale rovina řezu není kolmá na osu kužele
průnikem je parabola, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele rovný úhlu, který svírají přímky kuželové plochy s její osou
průnikem je hyperbola, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, menší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou (nebo v případě, kdy je rovina řezu rovnoběžná s osou kužele)

To je důvod, proč jsou elipsa, parabola a hyperbola nazývány souhrnně kuželosečkami.

Související články

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 7: / Řádka 7: @@
 == Kuželová plocha a prostor ==
 [[Soubor:kuzelovy_prostor.png|thumb|Kuželový prostor.]]
-Mějme jednoduchou uzavřenou [[křivka|křivku]] <math>k</math>, která leží v [[rovina|rovině]]. [[Bod]]y, které leží [[přímka|přímkách]] procházejících libovolným bodem křivky <math>k</math> a bodem <math>V</math> ležícím mimo rovinu křivky <math>k</math> tvoří '''kuželovou plochu'''. Část prostoru ohraničená kuželovou plochou se nazývá '''kuželový prostor'''.
+Mějme jednoduchou uzavřenou [[křivka|křivku]] <big>\(k\)</big>, která leží v [[rovina|rovině]]. [[Bod]]y, které leží [[přímka|přímkách]] procházejících libovolným bodem křivky <big>\(k\)</big> a bodem <big>\(V\)</big> ležícím mimo rovinu křivky <big>\(k\)</big> tvoří '''kuželovou plochu'''. Část prostoru ohraničená kuželovou plochou se nazývá '''kuželový prostor'''.
 Kuželová plocha je [[množina]] bodů v [[prostor (geometrie)|prostoru]], která vznikne z kužele tím, že odstraním podstavu a každou [[úsečka|úsečku]] pláště (tj. spojnici vrcholu kužele s bodem hranice podstavy) prodloužím na [[přímka|přímku]]. Nejlepší představa je taková ,že se jedná o dva středově souměrné (podle vrcholu kužele) kornouty jdoucí do nekonečna.
 === Rovnice ===
-'''Kuželová plocha''' ('''[[kvadratická plocha|kvadratický]] kužel''') s vrcholem v počátku, která v [[rovina|rovině]] <math>z=c</math> prochází [[elipsa|elipsou]] <math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math> (tzv. ''[[řídící křivka]]''), má [[rovnice|rovnici]]
+'''Kuželová plocha''' ('''[[kvadratická plocha|kvadratický]] kužel''') s vrcholem v počátku, která v [[rovina|rovině]] <big>\(z=c\)</big> prochází [[elipsa|elipsou]] <big>\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)</big> (tzv. ''[[řídící křivka]]''), má [[rovnice|rovnici]]
-:<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0</math>
+:<big>\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0\)</big>
 [[přímka|Přímky]], které tvoří povrch kužele se nazývají ''[[tvořící přímka|tvořící přímky]]''.
 Tato plocha je ''[[asymptotická plocha|asymptotickou plochou]]'' (''asymptotickým kuželem'') [[hyperboloid|hyperboloidů]]
-:<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=\pm 1</math>
+:<big>\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=\pm 1\)</big>
-Pro <math>a=b</math> jde o rotační kužel s osou rotace <math>z</math>.
+Pro <big>\(a=b\)</big> jde o rotační kužel s osou rotace <big>\(z\)</big>.
-Kuželovou plochu s vrcholem v bodě <math>[x_0,y_0,z_0]</math> je vždy možné vyjádřit rovnicí
+Kuželovou plochu s vrcholem v bodě <big>\([x_0,y_0,z_0]\)</big> je vždy možné vyjádřit rovnicí
-:<math>F\left(\frac{x-x_0}{z-z_0},\frac{y-y_0}{z-z_0}\right)=0</math>
+:<big>\(F\left(\frac{x-x_0}{z-z_0},\frac{y-y_0}{z-z_0}\right)=0\)</big>
 == Vlastnosti ==
 Pro [[objem]] kužele platí
-:<math>V = \frac{1}{3} \cdot S_p \cdot v</math>,
+:<big>\(V = \frac{1}{3} \cdot S_p \cdot v\)</big>,
-kde <math>S_p</math> je [[obsah]] podstavy a <math>v</math> je výška kužele.
+kde <big>\(S_p\)</big> je [[obsah]] podstavy a <big>\(v\)</big> je výška kužele.
 == Rotační kužel ==
 [[Soubor:Cone (geometry).png|thumb|Rotační kužel.]]
 '''Rotační kužel''' je [[rotace (geometrie)|rotační]] [[těleso (geometrie)|těleso]] vzniklé otáčením [[pravoúhlý trojúhelník|pravoúhlého trojúhelníku]] v [[prostor (geometrie)|prostoru]] okolo jedné z [[odvěsna|odvěsen]]. Otáčením druhé odvěsny vznikne kruhová '''podstava kužele''' (někdy také nazývaná jako '''základna kužele'''), otáčením [[přepona|přepony]] pak '''kuželová plocha''' nebo jinak '''plášť kužele'''. Tento plášť je v podstatě „stočená“ [[kruhová výseč]], jejíž úhel záleží na poměru výšky kužele a [[poloměr]]u podstavy. Společný vrchol přepony a osy otáčení nazýváme '''vrchol kužele'''.
 === Vlastnosti ===
-Označíme-li <math>r</math> [[poloměr]] kruhové podstavy kužele a <math>h</math> výšku kužele (t.j. vzdálenost vrcholu kužele od základny), pak lze vypočítat:
+Označíme-li <big>\(r\)</big> [[poloměr]] kruhové podstavy kužele a <big>\(h\)</big> výšku kužele (t.j. vzdálenost vrcholu kužele od základny), pak lze vypočítat:
 * poloměr pláště (tj. vzdálenost vrcholu kužele od hraniční kružnice podstavy neboli délku strany pláště) pomocí [[Pythagorova věta|Pythagorovy věty]] jako
-:<math> s = \sqrt{r^2 + h^2} \,\! </math>
+:<big>\( s = \sqrt{r^2 + h^2} \,\! \)</big>
 * [[objem]] kužele jako
-:<math> V = \frac{\pi r^2 h}{3} \,\! </math>
+:<big>\( V = \frac{\pi r^2 h}{3} \,\! \)</big>
-* [[povrch]] kužele jako [[součet]] [[obsah]]u podstavy <math> S_p = \pi r^2 \,\! </math> a obsahu pláště <math> S_{pl} = \pi r s \,\! </math>
+* [[povrch]] kužele jako [[součet]] [[obsah]]u podstavy <big>\( S_p = \pi r^2 \,\! \)</big> a obsahu pláště <big>\( S_{pl} = \pi r s \,\! \)</big>
-:<math> S = S_p + S_{pl} = \pi r (r + s) \,\! </math>
+:<big>\( S = S_p + S_{pl} = \pi r (r + s) \,\! \)</big>
 * [[symetrie|Symetrické]] vlastnosti
 ** Kužel není [[Středová souměrnost|středově souměrný]].