Koeficient šikmosti

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“)
 
(Nejsou zobrazeny 2 mezilehlé verze.)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Koeficient šikmosti|700}}
+
'''Koeficient šikmosti''' je [[Charakteristika náhodné veličiny|charakteristika]] rozdělení [[Náhodná veličina|náhodné veličiny]], která popisuje jeho nesymetrii. Označuje se symbolem <big>\(\gamma_1\)</big>.
 +
==Definice==
 +
Koeficient šikmosti je definován jako
 +
 +
:<big>\(\gamma_1 = \frac{\mu_3}{\sigma^3} = \frac{\operatorname{E}[X-\operatorname{E}(X)]^3}{(\operatorname{var}\,X)^{3/2}}\)</big>,
 +
 +
kde <big>\(\mu_3\)</big> je třetí [[centrální moment]], <big>\(\sigma\)</big> je [[směrodatná odchylka]], <big>\(\operatorname{E}(X)\)</big> je [[střední hodnota]] a <big>\(\operatorname{var}\,X\)</big> je [[rozptyl (statistika)|rozptyl]].
 +
 +
==Vlastnosti==
 +
Nulová šikmost značí, že hodnoty náhodné veličiny jsou rovnoměrně rozděleny vlevo a vpravo od střední hodnoty. Kladná šikmost značí, že vpravo od průměru se vyskytují odlehlejší hodnoty nežli vlevo (rozdělení má tzv. ''pravý ocas'') a většina hodnot se nachází blízko vlevo od průměru. U záporné šikmosti je tomu naopak.
 +
 +
Symetrická rozdělení včetně [[Normální rozdělení|normálního rozdělení]] mají šikmost nula.
 +
 +
Pro rozdělení s kladnou šikmostí obvykle platí, že jeho [[modus]] je menší nežli [[medián]] a ten je menší nežli střední hodnota. Pro zápornou šikmost opět naopak.
 +
 +
==Výběrový koeficient šikmosti==
 +
 +
Výběrový koeficient šikmosti je definován vzorcem
 +
 +
:<big>\(g_1 = \frac{m_3}{m_2^{3/2}} = \sqrt{n}\frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^3}{\left(\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2 \right)^{\frac{3}{2}}}\)</big>,
 +
 +
kde <big>\(\overline{x}\)</big> je [[Výběrový průměr|výběrový průměr]], <big>\(m_2\)</big> je [[výběrový rozptyl]] a <big>\(m_3\)</big> je třetí [[Centrální moment#Výběrový centrální moment|výběrový centrální moment]].
 +
 +
Tento odhad je [[Vychýlený odhad|vychýlený]]. Méně vychýlené odhady dostaneme, když místo výběrových centrálních momentů použijeme nevychýlené odhady centrálních momentů:<ref>{{cite web|title=Estimating and Comparing Kurtosis and Skewness from and Arbitrary Population|url=http://www.misug.org/mifolder/LAn_Skewness_Kurtosis.pdf|publisher=Michigan SAS Users Group|accessdate=18 July 2011}}</ref>
 +
 +
<big>\(
 +
\begin{align}
 +
G_1 = \frac{M_3}{M_2^{3/2}} &= \frac{\sqrt{n(n-1)}}{n-2}g_1 \\
 +
b_1 = \frac{m_3}{M_2^{3/2}} &= \left(\frac{n-1}{n}\right)^{2/3}g_1
 +
\end{align}
 +
\)</big>
 +
 +
Pro rozptyly těchto odhadů platí <big>\(\operatorname{var}\,b_1 < \operatorname{var}\,g_1 < \operatorname{var}\,G_1\)</big>.
 +
 +
== Reference ==
 +
<references/>
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Statistika]]
[[Kategorie:Statistika]]

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:52

Koeficient šikmosti je charakteristika rozdělení náhodné veličiny, která popisuje jeho nesymetrii. Označuje se symbolem \(\gamma_1\).

Obsah

Definice

Koeficient šikmosti je definován jako

\(\gamma_1 = \frac{\mu_3}{\sigma^3} = \frac{\operatorname{E}[X-\operatorname{E}(X)]^3}{(\operatorname{var}\,X)^{3/2}}\),

kde \(\mu_3\) je třetí centrální moment, \(\sigma\) je směrodatná odchylka, \(\operatorname{E}(X)\) je střední hodnota a \(\operatorname{var}\,X\) je rozptyl.

Vlastnosti

Nulová šikmost značí, že hodnoty náhodné veličiny jsou rovnoměrně rozděleny vlevo a vpravo od střední hodnoty. Kladná šikmost značí, že vpravo od průměru se vyskytují odlehlejší hodnoty nežli vlevo (rozdělení má tzv. pravý ocas) a většina hodnot se nachází blízko vlevo od průměru. U záporné šikmosti je tomu naopak.

Symetrická rozdělení včetně normálního rozdělení mají šikmost nula.

Pro rozdělení s kladnou šikmostí obvykle platí, že jeho modus je menší nežli medián a ten je menší nežli střední hodnota. Pro zápornou šikmost opět naopak.

Výběrový koeficient šikmosti

Výběrový koeficient šikmosti je definován vzorcem

\(g_1 = \frac{m_3}{m_2^{3/2}} = \sqrt{n}\frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^3}{\left(\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2 \right)^{\frac{3}{2}}}\),

kde \(\overline{x}\) je výběrový průměr, \(m_2\) je výběrový rozptyl a \(m_3\) je třetí výběrový centrální moment.

Tento odhad je vychýlený. Méně vychýlené odhady dostaneme, když místo výběrových centrálních momentů použijeme nevychýlené odhady centrálních momentů:[1]

\( \begin{align} G_1 = \frac{M_3}{M_2^{3/2}} &= \frac{\sqrt{n(n-1)}}{n-2}g_1 \\ b_1 = \frac{m_3}{M_2^{3/2}} &= \left(\frac{n-1}{n}\right)^{2/3}g_1 \end{align} \)

Pro rozptyly těchto odhadů platí \(\operatorname{var}\,b_1 < \operatorname{var}\,g_1 < \operatorname{var}\,G_1\).

Reference

  1. ↑ . Dostupné online.  


Citováno z „http://www2000.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Koeficient_%C5%A1ikmosti“