Koeficient šikmosti
Z Multimediaexpo.cz
m (Nahrazení textu „<math>“ textem „<big>\(“) |
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“) |
||
| Řádka 1: | Řádka 1: | ||
| - | '''Koeficient šikmosti''' je [[Charakteristika náhodné veličiny|charakteristika]] rozdělení [[Náhodná veličina|náhodné veličiny]], která popisuje jeho nesymetrii. Označuje se symbolem <big>\(\gamma_1</ | + | '''Koeficient šikmosti''' je [[Charakteristika náhodné veličiny|charakteristika]] rozdělení [[Náhodná veličina|náhodné veličiny]], která popisuje jeho nesymetrii. Označuje se symbolem <big>\(\gamma_1\)</big>. |
==Definice== | ==Definice== | ||
Koeficient šikmosti je definován jako | Koeficient šikmosti je definován jako | ||
| - | :<big>\(\gamma_1 = \frac{\mu_3}{\sigma^3} = \frac{\operatorname{E}[X-\operatorname{E}(X)]^3}{(\operatorname{var}\,X)^{3/2}}</ | + | :<big>\(\gamma_1 = \frac{\mu_3}{\sigma^3} = \frac{\operatorname{E}[X-\operatorname{E}(X)]^3}{(\operatorname{var}\,X)^{3/2}}\)</big>, |
| - | kde <big>\(\mu_3</ | + | kde <big>\(\mu_3\)</big> je třetí [[centrální moment]], <big>\(\sigma\)</big> je [[směrodatná odchylka]], <big>\(\operatorname{E}(X)\)</big> je [[střední hodnota]] a <big>\(\operatorname{var}\,X\)</big> je [[rozptyl (statistika)|rozptyl]]. |
==Vlastnosti== | ==Vlastnosti== | ||
| Řádka 19: | Řádka 19: | ||
Výběrový koeficient šikmosti je definován vzorcem | Výběrový koeficient šikmosti je definován vzorcem | ||
| - | :<big>\(g_1 = \frac{m_3}{m_2^{3/2}} = \sqrt{n}\frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^3}{\left(\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2 \right)^{\frac{3}{2}}}</ | + | :<big>\(g_1 = \frac{m_3}{m_2^{3/2}} = \sqrt{n}\frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^3}{\left(\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2 \right)^{\frac{3}{2}}}\)</big>, |
| - | kde <big>\(\overline{x}</ | + | kde <big>\(\overline{x}\)</big> je [[Výběrový průměr|výběrový průměr]], <big>\(m_2\)</big> je [[výběrový rozptyl]] a <big>\(m_3\)</big> je třetí [[Centrální moment#Výběrový centrální moment|výběrový centrální moment]]. |
Tento odhad je [[Vychýlený odhad|vychýlený]]. Méně vychýlené odhady dostaneme, když místo výběrových centrálních momentů použijeme nevychýlené odhady centrálních momentů:<ref>{{cite web|title=Estimating and Comparing Kurtosis and Skewness from and Arbitrary Population|url=http://www.misug.org/mifolder/LAn_Skewness_Kurtosis.pdf|publisher=Michigan SAS Users Group|accessdate=18 July 2011}}</ref> | Tento odhad je [[Vychýlený odhad|vychýlený]]. Méně vychýlené odhady dostaneme, když místo výběrových centrálních momentů použijeme nevychýlené odhady centrálních momentů:<ref>{{cite web|title=Estimating and Comparing Kurtosis and Skewness from and Arbitrary Population|url=http://www.misug.org/mifolder/LAn_Skewness_Kurtosis.pdf|publisher=Michigan SAS Users Group|accessdate=18 July 2011}}</ref> | ||
| Řádka 30: | Řádka 30: | ||
b_1 = \frac{m_3}{M_2^{3/2}} &= \left(\frac{n-1}{n}\right)^{2/3}g_1 | b_1 = \frac{m_3}{M_2^{3/2}} &= \left(\frac{n-1}{n}\right)^{2/3}g_1 | ||
\end{align} | \end{align} | ||
| - | </ | + | \)</big> |
| - | Pro rozptyly těchto odhadů platí <big>\(\operatorname{var}\,b_1 < \operatorname{var}\,g_1 < \operatorname{var}\,G_1</ | + | Pro rozptyly těchto odhadů platí <big>\(\operatorname{var}\,b_1 < \operatorname{var}\,g_1 < \operatorname{var}\,G_1\)</big>. |
== Reference == | == Reference == | ||
Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:52
Koeficient šikmosti je charakteristika rozdělení náhodné veličiny, která popisuje jeho nesymetrii. Označuje se symbolem \(\gamma_1\).
Obsah |
Definice
Koeficient šikmosti je definován jako
- \(\gamma_1 = \frac{\mu_3}{\sigma^3} = \frac{\operatorname{E}[X-\operatorname{E}(X)]^3}{(\operatorname{var}\,X)^{3/2}}\),
kde \(\mu_3\) je třetí centrální moment, \(\sigma\) je směrodatná odchylka, \(\operatorname{E}(X)\) je střední hodnota a \(\operatorname{var}\,X\) je rozptyl.
Vlastnosti
Nulová šikmost značí, že hodnoty náhodné veličiny jsou rovnoměrně rozděleny vlevo a vpravo od střední hodnoty. Kladná šikmost značí, že vpravo od průměru se vyskytují odlehlejší hodnoty nežli vlevo (rozdělení má tzv. pravý ocas) a většina hodnot se nachází blízko vlevo od průměru. U záporné šikmosti je tomu naopak.
Symetrická rozdělení včetně normálního rozdělení mají šikmost nula.
Pro rozdělení s kladnou šikmostí obvykle platí, že jeho modus je menší nežli medián a ten je menší nežli střední hodnota. Pro zápornou šikmost opět naopak.
Výběrový koeficient šikmosti
Výběrový koeficient šikmosti je definován vzorcem
- \(g_1 = \frac{m_3}{m_2^{3/2}} = \sqrt{n}\frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^3}{\left(\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2 \right)^{\frac{3}{2}}}\),
kde \(\overline{x}\) je výběrový průměr, \(m_2\) je výběrový rozptyl a \(m_3\) je třetí výběrový centrální moment.
Tento odhad je vychýlený. Méně vychýlené odhady dostaneme, když místo výběrových centrálních momentů použijeme nevychýlené odhady centrálních momentů:[1]
\( \begin{align} G_1 = \frac{M_3}{M_2^{3/2}} &= \frac{\sqrt{n(n-1)}}{n-2}g_1 \\ b_1 = \frac{m_3}{M_2^{3/2}} &= \left(\frac{n-1}{n}\right)^{2/3}g_1 \end{align} \)
Pro rozptyly těchto odhadů platí \(\operatorname{var}\,b_1 < \operatorname{var}\,g_1 < \operatorname{var}\,G_1\).
Reference
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |