Gravitační potenciál

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
(+ Výrazné vylepšení)
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“)
 
(Nejsou zobrazeny 3 mezilehlé verze.)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Gravitační potenciál|700}}
+
'''Gravitační potenciál''' je [[skalární veličina|skalární fyzikální veličina]], která vyčísluje [[potenciální energie|potenciální energii]] tělesa o jednotkové hmotnosti (v jednotkách SI 1 kg) v gravitačním poli ostatních těles. Za místo s nulovým potenciálem se obvykle bere nekonečně vzdálený bod. Hodnota gravitačního potenciálu je proto záporná.
 +
Protože gravitační potenciál vyjadřuje měrnou energii, je jeho jednotkou v soustavě SI joule na kilogram (J/kg).
 +
 +
[[Gradient]]em gravitačního potenciálu je [[gravitační zrychlení]].
 +
 +
== Gravitační potenciál hmotného bodu a kulově souměrného tělesa ==
 +
Gravitační potenciál hmotného bodu je v newtonovské fyzice vyjádřen vzorcem
 +
:<big>\(\phi(r) = -\frac{GM}{r},\)</big>
 +
* <big>\(G\)</big> je [[gravitační konstanta]] (někdy označována také <big>\(\kappa\)</big>)
 +
* <big>\(M\)</big> je hmotnost hmotného bodu
 +
* <big>\(r\)</big> je vzdálenost od hmotného bodu
 +
 +
Stejný vzorec platí (přesně) i pro gravitační potenciál vně sféricky symetrického tělesa (nad jeho povrchem), '''r''' pak vyjadřuje vzdálenost od středu takového tělesa. Proto lze například v astronomii nahradit ve výpočtech kosmická tělesa hmotnými body.
 +
 +
Gravitační potenciál sféricky symetrické kulové slupky je v dutině této slupky všude stejný. Gravitační zrychlení a tedy i tíha, způsobené touto slupkou, jsou proto uvnitř nulové. To umožňuje spočítat gravitační potenciál pod povrchem planet: pro výpočet se zahrne jen hmota planety, mající větší hloubku, než místo, pro nějž se potenciál počítá (Přesně to však platí pouze tehdy, je-li v dané hloubce hustota všude stejná).
 +
 +
Rychlost tělesa na kruhové dráze je v tomto potenciálu rovna Keplerovské rychlosti
 +
 +
<big>\(v_k=\sqrt{\frac{GM}{r}},\)</big>
 +
 +
Úniková rychlost je
 +
 +
<big>\(v_{esc}=\sqrt{\frac{2GM}{r}}=\sqrt{2} \ v_k.\)</big>
 +
 +
== Plummerův potenciál ==
 +
Protože se hmotný bod špatně integruje, je nutné ho šikovně "rozmazat". Jedním ze způsobů, jak to udělat, je použít Plummerovu sféru, jejíž potenciál je
 +
 +
<big>\(\phi_P(r) = -\frac{GM}{\sqrt{r^2 + b^2}},\)</big>
 +
 +
kde <big>\(b\)</big> je parametr.
 +
 +
Z Poissonovy rovnice pak odvodíme funkční závislost hustoty <big>\(\rho\)</big> na poloměru <big>\(r\)</big>.
 +
 +
<big>\(\rho_P(r) = \frac{3M}{4\pi b^3}\left(1+\frac{r^2}{b^2}\right)^{-5/2}\)</big>
 +
 +
Přičemž tato hustota jde do nekonečna, ale nediverguje.
 +
 +
== Kuzminův potenciál ==
 +
Analogie Plummerovy sféry ve válcových souřadnicích (opět "rozmazáváme" potenciál hmotného bodu).
 +
 +
<big>\(\phi_K(R, z) = -\frac{GM}{\sqrt{R^2 + \left(a + |z|\right)^2}},\)</big>
 +
* <big>\(R\)</big> je vzdálenost v rovině xy
 +
* <big>\(a\)</big> je parametr
 +
* <big>\(|z|\)</big> je absolutní hodnota vzdálenosti ve směru osy z.
 +
Poissonova rovnice ve válcových souřadnicích vede na povrchovou hustotu
 +
 +
<big>\(\Sigma_K(R) = \frac{aM}{2\pi \left(R^2 + a^2\right)^{3/2}}.\)</big>
 +
 +
== Miyamoto−Nagai potenciál ==
 +
Toto je zobecnění všech předchozích potenciálů.
 +
 +
<big>\(\phi_{MN}(R,z) = -\frac{GM}{\sqrt{R^2 + \left(a + \sqrt{z^2 + b^2}\right)^2}}.\)</big>
 +
 +
Pokud
 +
* <big>\(a = 0\)</big> a <big>\(b=0\)</big> ... přechází v potenciál hmotného bodu, neboť <big>\(r = \sqrt{R^2 + z^2}\)</big>
 +
* <big>\(a=0\)</big> a <big>\(b \neq 0\)</big> ... přechází v Plummerův potenciál
 +
* <big>\(a \neq 0\)</big> a <big>\(b=0\)</big> ... přechází v Kuzminův potenciál, neboť <big>\(|z| = \sqrt{z^2}\)</big>.
 +
Tedy pokud je <big>\(b \ll a\)</big>, odpovídá to přibližně rozložení potenciálu disku s centrální výdutí (např. galaxie), pokud je <big>\(b \gg a\)</big>, dostáváme přibližně potenciál koule.
 +
 +
Z Poissonovy rovnice lze odvodit hustota
 +
 +
<big>\(\rho_{MN}(R,z) = \left(\frac{b^2 M}{4\pi}\right) \frac{aR^2 + \left(a+3\sqrt{z^2 + b^2}\right)\left(a + \sqrt{z^2 + b^2}\right)^2}{\left[R^2 + \left(a+\sqrt{z^2 + b^2}\right)^2\right]^{5/2} \left(z^2 + b^2\right)^{3/2}}\)</big>
 +
 +
== Související články ==
 +
* [[Geoid]]
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Gravitace]]
[[Kategorie:Gravitace]]

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:51

Gravitační potenciál je skalární fyzikální veličina, která vyčísluje potenciální energii tělesa o jednotkové hmotnosti (v jednotkách SI 1 kg) v gravitačním poli ostatních těles. Za místo s nulovým potenciálem se obvykle bere nekonečně vzdálený bod. Hodnota gravitačního potenciálu je proto záporná.

Protože gravitační potenciál vyjadřuje měrnou energii, je jeho jednotkou v soustavě SI joule na kilogram (J/kg).

Gradientem gravitačního potenciálu je gravitační zrychlení.

Obsah

Gravitační potenciál hmotného bodu a kulově souměrného tělesa

Gravitační potenciál hmotného bodu je v newtonovské fyzice vyjádřen vzorcem

\(\phi(r) = -\frac{GM}{r},\)
  • \(G\) je gravitační konstanta (někdy označována také \(\kappa\))
  • \(M\) je hmotnost hmotného bodu
  • \(r\) je vzdálenost od hmotného bodu

Stejný vzorec platí (přesně) i pro gravitační potenciál vně sféricky symetrického tělesa (nad jeho povrchem), r pak vyjadřuje vzdálenost od středu takového tělesa. Proto lze například v astronomii nahradit ve výpočtech kosmická tělesa hmotnými body.

Gravitační potenciál sféricky symetrické kulové slupky je v dutině této slupky všude stejný. Gravitační zrychlení a tedy i tíha, způsobené touto slupkou, jsou proto uvnitř nulové. To umožňuje spočítat gravitační potenciál pod povrchem planet: pro výpočet se zahrne jen hmota planety, mající větší hloubku, než místo, pro nějž se potenciál počítá (Přesně to však platí pouze tehdy, je-li v dané hloubce hustota všude stejná).

Rychlost tělesa na kruhové dráze je v tomto potenciálu rovna Keplerovské rychlosti

\(v_k=\sqrt{\frac{GM}{r}},\)

Úniková rychlost je

\(v_{esc}=\sqrt{\frac{2GM}{r}}=\sqrt{2} \ v_k.\)

Plummerův potenciál

Protože se hmotný bod špatně integruje, je nutné ho šikovně "rozmazat". Jedním ze způsobů, jak to udělat, je použít Plummerovu sféru, jejíž potenciál je

\(\phi_P(r) = -\frac{GM}{\sqrt{r^2 + b^2}},\)

kde \(b\) je parametr.

Z Poissonovy rovnice pak odvodíme funkční závislost hustoty \(\rho\) na poloměru \(r\).

\(\rho_P(r) = \frac{3M}{4\pi b^3}\left(1+\frac{r^2}{b^2}\right)^{-5/2}\)

Přičemž tato hustota jde do nekonečna, ale nediverguje.

Kuzminův potenciál

Analogie Plummerovy sféry ve válcových souřadnicích (opět "rozmazáváme" potenciál hmotného bodu).

\(\phi_K(R, z) = -\frac{GM}{\sqrt{R^2 + \left(a + |z|\right)^2}},\)

  • \(R\) je vzdálenost v rovině xy
  • \(a\) je parametr
  • \(|z|\) je absolutní hodnota vzdálenosti ve směru osy z.

Poissonova rovnice ve válcových souřadnicích vede na povrchovou hustotu

\(\Sigma_K(R) = \frac{aM}{2\pi \left(R^2 + a^2\right)^{3/2}}.\)

Miyamoto−Nagai potenciál

Toto je zobecnění všech předchozích potenciálů.

\(\phi_{MN}(R,z) = -\frac{GM}{\sqrt{R^2 + \left(a + \sqrt{z^2 + b^2}\right)^2}}.\)

Pokud

  • \(a = 0\) a \(b=0\) ... přechází v potenciál hmotného bodu, neboť \(r = \sqrt{R^2 + z^2}\)
  • \(a=0\) a \(b \neq 0\) ... přechází v Plummerův potenciál
  • \(a \neq 0\) a \(b=0\) ... přechází v Kuzminův potenciál, neboť \(|z| = \sqrt{z^2}\).

Tedy pokud je \(b \ll a\), odpovídá to přibližně rozložení potenciálu disku s centrální výdutí (např. galaxie), pokud je \(b \gg a\), dostáváme přibližně potenciál koule.

Z Poissonovy rovnice lze odvodit hustota

\(\rho_{MN}(R,z) = \left(\frac{b^2 M}{4\pi}\right) \frac{aR^2 + \left(a+3\sqrt{z^2 + b^2}\right)\left(a + \sqrt{z^2 + b^2}\right)^2}{\left[R^2 + \left(a+\sqrt{z^2 + b^2}\right)^2\right]^{5/2} \left(z^2 + b^2\right)^{3/2}}\)

Související články


Citováno z „http://www2000.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Gravita%C4%8Dn%C3%AD_potenci%C3%A1l“