Gaussův zákon elektrostatiky

Z Multimediaexpo.cz

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:51

Gaussův zákon elektrostatiky vyjadřuje vztah mezi tokem elektrické intenzity a elektrickým nábojem.

Formulace zákona

Gaussův zákon lze vyjádřit následující formulací:

Tok elektrické intenzity ${\mathrm{\Phi }}_E$ libovolnou uzavřenou plochou (Gaussovou plochou) je přímo úměrný elektrickému náboji $Q$ nacházejícímu se uvnitř této plochy. Konstantou úměrnosti je převrácená hodnota permitivity vakua ${\epsilon }_0$.

Uvedené tvrzení bývá zapisováno v matematické podobě jako

${\mathrm{\Phi }}_E=\frac{Q}{{\epsilon }_0}$

Vyjádřením toku intenzity elektrického pole lze získat také vztah

$\mathrm{\Phi }={\oint }_S\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=\frac{Q}{{\epsilon }_0}$

Toto vyjádření Gaussova zákona bývá také označováno jako Gaussův zákon elektrostatiky v integrálním tvaru.

Gaussův zákon lze formulovat nejen pro soustavu bodových nábojů, ale také pro spojitě rozložené náboje.

Pokud uvažujeme uzavřenou plochu $S$ libovolného tvaru, která tvoří hranici tělesa o objemu $V$, které obsahuje celkový náboj $Q$, který může být tvořen bodovými i spojitě rozloženými elektrickými náboji, pak pro tok intenzity elektrostatického pole plochou S platí vztah

${\oint }_S\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=\frac{Q}{{\epsilon }_0}$

Pokud se uvnitř plochy $S$ nachází pouze objemově rozložené náboje, lze celkový náboj určit ze vztahu $Q={\int }_V\rho (\mathbf{r})\mathrm{d}V$, což v kombinaci s předchozím vztahem dá výraz

${\oint }_S\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=\frac{1}{{\epsilon }_0}{\int }_V\rho \mathrm{d}V$

Úpravou levé strany pomocí Gaussovy věty dostaneme

${\int }_V\mathrm{div}\mathbf{E}\mathrm{d}V=\frac{1}{{\epsilon }_0}{\int }_V\rho \mathrm{d}V$

Aby tato rovnice platila pro libovolně zvolený objem $V$, musí se integrované funkce rovnat v každém bodě, tzn.

$\mathrm{div}\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{\rho (\mathbf{r})}{{\epsilon }_0}$

Tento vztah je pouze jiným vyjádřením Gaussova zákona. Nevztahuje se však k ploše nebo objemu, ale pouze k danému bodu prostoru, a je označován jako Gaussův zákon elektrostatiky v diferenciálním tvaru.

Gaussův zákon v dielektriku

V dielektriku se Gaussův zákon vyjadřuje pomocí elektrické indukce $\mathbf{D}$ v integrálním tvaru jako

${\oint }_S\mathbf{D}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=Q$

nebo v diferenciálním tvaru jako

$\mathrm{div}\mathbf{D}=\rho$

V tomto tvaru má zákon obecnou platnost, tedy i pro proměnné elektromagnetické pole. Představuje jednu z Maxwellových rovnic.

Počet siločar

Často se lze setkat s jinou formulací Gaussova zákona elektrostatiky:

Celkový počet siločar procházejících uzavřenou plochou libovolného tvaru, která v elektrostatickém poli uzavírá elektrický náboj $Q$, je roven podílu velikosti náboje $Q$ uvnitř této plochy a permitivity vakua ${\epsilon }_0$, přičemž nezáleží na rozložení elektrického náboje.

Teoreticky je možné vést každým bodem elektrostatického pole nějakou siločáru. Ukazuje se však výhodnější omezit počet siločar, aby souvisel s velikostí toku intenzity elektrostatického pole vztahem

$N=\mathrm{\Phi }$,

kde $N$ označuje počet siločar.

V takovém případě se Gaussův zákon zapisuje ve tvaru

$N=\frac{Q}{{\epsilon }_0}$

Vlastnosti

• Gaussův zákon elektrostatiky se používá pro výpočet intenzity elektrického pole v různých bodech prostoru, zpravidla lze-li uplatnit některé symetrie problému. Je přímým důsledkem Gaussovy věty a Maxwellových rovnic.

• Jestliže uvnitř plochy není uzavřeno žádné těleso s elektrickým nábojem, pak je celkový tok elektrické intenzity touto plochou nulový.
• Jestliže má plocha kulový tvar poloměru r a v jejím středu se nachází bodový elektrický náboj Q, pak intenzita elektrického pole v libovolném bodě na ploše má velikost

$E=\frac{{\mathrm{\Phi }}_E}{4\pi r^2}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Q}{r^2}$

Stejný vztah lze však získat také z Coulombova zákona. Gaussův zákon elektrostatiky je ekvivalentní s Coulombovým zákonem.

• Uvnitř nabitého vodivého tělesa je nulová elektrická intenzita. Protože elektrický náboj se u vodiče v ustáleném stavu rozmístí vždy na povrchu tělesa, pak podle Gaussova zákona musí být tok intenzity libovolnou plochou uvnitř tělesa nulový, a tím musí být v libovolném bodě uvnitř tělesa také nulová elektrická intenzita. Této skutečnosti využívá např. van de Graaffův generátor.

Související články

• Elektřina
• Elektrostatika
• Tok intenzity elektrického pole
• Elektrický náboj

Literatura

• SEDLÁK, Bedřich; ŠTOLL, Ivan. Elektřina a magnetismus. [s.l.] : [s.n.]. 650 s. ISBN 80-200-1004-1.