Gaussův zákon elektrostatiky

Z Multimediaexpo.cz

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:51

Gaussův zákon elektrostatiky vyjadřuje vztah mezi tokem elektrické intenzity a elektrickým nábojem.

Formulace zákona

Gaussův zákon lze vyjádřit následující formulací:

Tok elektrické intenzity \(\Phi_E\) libovolnou uzavřenou plochou (Gaussovou plochou) je přímo úměrný elektrickému náboji \(Q\) nacházejícímu se uvnitř této plochy. Konstantou úměrnosti je převrácená hodnota permitivity vakua \(\varepsilon_0\).

Uvedené tvrzení bývá zapisováno v matematické podobě jako

\(\Phi_E = \frac {Q}{\varepsilon_0}\)

Vyjádřením toku intenzity elektrického pole lze získat také vztah

\(\Phi = \oint_S \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = \frac{Q}{\varepsilon_0}\)

Toto vyjádření Gaussova zákona bývá také označováno jako Gaussův zákon elektrostatiky v integrálním tvaru.

Gaussův zákon lze formulovat nejen pro soustavu bodových nábojů, ale také pro spojitě rozložené náboje.

Pokud uvažujeme uzavřenou plochu \(S\) libovolného tvaru, která tvoří hranici tělesa o objemu \(V\), které obsahuje celkový náboj \(Q\), který může být tvořen bodovými i spojitě rozloženými elektrickými náboji, pak pro tok intenzity elektrostatického pole plochou S platí vztah

\(\oint_S \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = \frac{Q}{\varepsilon_0}\)

Pokud se uvnitř plochy \(S\) nachází pouze objemově rozložené náboje, lze celkový náboj určit ze vztahu \(Q=\int_V\rho(\mathbf{r})\mathrm{d}V\), což v kombinaci s předchozím vztahem dá výraz

\(\oint_S \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = \frac{1}{\varepsilon_0}\int_V\rho\mathrm{d}V\)

Úpravou levé strany pomocí Gaussovy věty dostaneme

\(\int_V\operatorname{div}\,\mathbf{E}\mathrm{d}V = \frac{1}{\varepsilon_0}\int_V\rho\mathrm{d}V\)

Aby tato rovnice platila pro libovolně zvolený objem \(V\), musí se integrované funkce rovnat v každém bodě, tzn.

\(\operatorname{div}\,\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{\rho(\mathbf{r})}{\varepsilon_0}\)

Tento vztah je pouze jiným vyjádřením Gaussova zákona. Nevztahuje se však k ploše nebo objemu, ale pouze k danému bodu prostoru, a je označován jako Gaussův zákon elektrostatiky v diferenciálním tvaru.

Gaussův zákon v dielektriku

V dielektriku se Gaussův zákon vyjadřuje pomocí elektrické indukce \(\mathbf{D}\) v integrálním tvaru jako

\(\oint_S\mathbf{D}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = Q\)

nebo v diferenciálním tvaru jako

\(\operatorname{div}\,\mathbf{D} = \rho\)

V tomto tvaru má zákon obecnou platnost, tedy i pro proměnné elektromagnetické pole. Představuje jednu z Maxwellových rovnic.

Počet siločar

Často se lze setkat s jinou formulací Gaussova zákona elektrostatiky:

Celkový počet siločar procházejících uzavřenou plochou libovolného tvaru, která v elektrostatickém poli uzavírá elektrický náboj \(Q\), je roven podílu velikosti náboje \(Q\) uvnitř této plochy a permitivity vakua \(\varepsilon_0\), přičemž nezáleží na rozložení elektrického náboje.

Teoreticky je možné vést každým bodem elektrostatického pole nějakou siločáru. Ukazuje se však výhodnější omezit počet siločar, aby souvisel s velikostí toku intenzity elektrostatického pole vztahem

\(N = \Phi\),

kde \(N\) označuje počet siločar.

V takovém případě se Gaussův zákon zapisuje ve tvaru

\(N = \frac{Q}{\varepsilon_0}\)

Vlastnosti

• Gaussův zákon elektrostatiky se používá pro výpočet intenzity elektrického pole v různých bodech prostoru, zpravidla lze-li uplatnit některé symetrie problému. Je přímým důsledkem Gaussovy věty a Maxwellových rovnic.

• Jestliže uvnitř plochy není uzavřeno žádné těleso s elektrickým nábojem, pak je celkový tok elektrické intenzity touto plochou nulový.
• Jestliže má plocha kulový tvar poloměru r a v jejím středu se nachází bodový elektrický náboj Q, pak intenzita elektrického pole v libovolném bodě na ploše má velikost

\(E = \frac {\Phi_E}{4 \pi r^2} = \frac {1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac {Q}{r^2}\)

Stejný vztah lze však získat také z Coulombova zákona. Gaussův zákon elektrostatiky je ekvivalentní s Coulombovým zákonem.

• Uvnitř nabitého vodivého tělesa je nulová elektrická intenzita. Protože elektrický náboj se u vodiče v ustáleném stavu rozmístí vždy na povrchu tělesa, pak podle Gaussova zákona musí být tok intenzity libovolnou plochou uvnitř tělesa nulový, a tím musí být v libovolném bodě uvnitř tělesa také nulová elektrická intenzita. Této skutečnosti využívá např. van de Graaffův generátor.

Související články

• Elektřina
• Elektrostatika
• Tok intenzity elektrického pole
• Elektrický náboj

Literatura

• SEDLÁK, Bedřich; ŠTOLL, Ivan. Elektřina a magnetismus. [s.l.] : [s.n.]. 650 s. ISBN 80-200-1004-1.