Centrální moment

Z Multimediaexpo.cz

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:51

Centrální moment je pojem z matematické statistiky. Pro přirozené číslo \(k\) je k-tý centrální moment jisté reálné číslo charakterizující rozdělení náhodné veličiny. K-tý centrální moment se označuje \(\mu_k\).

Definice

K-tý centrální moment náhodné veličiny \(X\) je definován vzorcem

\(\mu_k = \operatorname{E}\left[(X - \mu)^k\right]\),

kde \(\mu\) je střední hodnota dané veličiny (pokud má vzorec smysl).

Pro diskrétní náhodné veličiny lze psát

\(\mu_k = \sum_{i=1}^\infty(x_i - \mu)^kp_i\),

kde \(p_i\) je pravděpodobnost, že \(X\) nabývá hodnoty \(x_i\).

Pro spojité náhodné veličiny na reálných číslech lze psát

\(\mu_k = \int_{-\infty}^\infty (x-\mu)^kf(x)\operatorname{d}x\),

kde \(f(x)\) je hustota rozdělení dané veličiny.

Označení centrálních momentů

První centrální moment je vždy roven 0.

Druhý centrální moment se nazývá rozptyl a označuje se symbolem \(\sigma^2\) nebo \(\operatorname{var}\,X\).

Třetí a čtvrtý centrální moment jsou součástí definice šikmosti a špičatosti.

Vlastnosti

Centrální moment je nezávislý na posunu o konstantu, tj.

\(\mu_k\left(X+c\right) = \mu_k(X)\)

Pro násobení konstantou platí

\(\mu_k\left(cX\right) = c^k\mu_k(X)\)

Pro \(k\leq 3\) a nezávislé náhodné veličiny \(X, Y\) platí

\(\mu_k\left(X+Y\right) = \mu_k(X) + \mu_k(Y)\)

Mezi centrálními momenty a obecnými momenty je vztah

\(\mu_k = \sum_{i=0}^k\binom{k}{i}(-1)^{k-i}\mu^{k-i}\mu_i^\prime\),

kde \(\mu\) je střední hodnota a \(\mu_i^\prime\) je i-tý obecný moment.

Výběrový centrální moment

Výběrový centrální moment je definován vzorcem

\( m_k = \frac1n\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)^k \)

Výběrový centrální moment je nevyvážený odhad centrálního momentu, vyvážené odhady jsou:

• \(M_2 &= \frac{n}{n-1}k_2 = \frac1{n-1}\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)^2\)
• \(M_3 &= \frac{n^2}{(n-1)(n-2)}m_3\)
• \(M_4 &= \frac{n^2}{(n-1)(n-2)(n-3)}(n+1)m_4 - 3(n-1)m_2^2\)

Reference