Sféra (matematika)

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
(+ Poslední den v neziskové encyklopedii...)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Sféra (matematika)|700}}
+
V [[matematika|matematice]] se slovem '''sféra''' označuje obvykle [[Sféra (matematika)|kulová plocha]], tj. povrch [[koule]], resp. prostor, který je povrchu koule (v různém smyslu) podobný. Sféra dimenze ''n'' se někdy značí n-sféra.
 +
== Definice ==
 +
 +
* V&nbsp;[[eukleidovská geometrie|euklidovské geometrii]] a v&nbsp;klasické [[matematická analýza|analýze]] je n-rozměrná sféra poloměru ''r'' definována <math>S^n:=\{ x\in\R^{n+1},  \sum_i x_i^2=r^2\}</math>
 +
 +
* V&nbsp;[[topologie|topologii]] je n-rozměrná sféra [[topologický prostor]] [[homeomorfismus|homeomorfní]] výše uvedené euklidovské sféře. Ekvivalentně je sféra jednobodová kompaktifikace prostoru <math>\R^n</math>. Pro <math>n=\infty</math> se také definuje sféra <math>S^\infty</math>, která je v&nbsp;jistém smyslu limitou konečně rozměrných sfér.
 +
 +
== Vlastnosti ==
 +
 +
* n-sféra je [[Kompaktní množina|kompaktní]], [[Souvislá množina|souvislá]] pro dimenzi ''n'' > 0 a pro ''n>1'' také [[jednoduše souvislá množina]].
 +
* Obsah (dvourozměrné euklidovské) sféry je <math>4\pi r^2</math>, obecněji je objem (n-rozměrná míra) n-rozměrné sféry poloměru ''r'' <math>{2\pi^\frac{n+1}{2}\over\Gamma(\frac{n+1}{2})} r^{n}.</math>
 +
* [[Eulerova charakteristika]] n-sféry je 2 pro ''n'' sudé a 0 pro ''n'' liché.
 +
* [[Homologie (matematika)|Homologie]] a kohomologie n-sféry jsou netriviální pouze v dimenzi 0 a ''n''.
 +
* Libovolná jednoduše souvislá uzavřená 2-rozměrná [[varieta (matematika)|varieta]] je homeomorfní 2-sféře.
 +
* Libovolná jednoduše souvislá uzavřená 3-rozměrná hladká varieta je homeomorfní 3-sféře ([[Poincarého věta|Poincarého hypotéza]], jediný z&nbsp;[[problémy tisíciletí|sedmi problémů tisíciletí]], který byl zatím vyřešen).
 +
* Jediné sféry, které mají strukturu [[Lieova grupa|Lieovy grupy]] jsou n-sféry pro ''n'' = 0, 1, 3 (jsou to sféry jednotkových [[reálné číslo|reálných čísel]], [[komplexní číslo|komplexních čísel]] a [[kvaternion]]ů).
 +
* Jediné sféry, které jsou ''úplně paralelizovatelné'', jsou <math>S^0, S^1, S^3, S^7</math> (paralelizovatelnost <math>S^7</math> má souvislost s [[oktonion]]y).
 +
* Na n-sféře existuje paralelní hladké nenulové [[vektorové pole]] právě když ''n'' je liché.
 +
* 2-sféra může mít strukturu [[komplexní varieta|komplexní variety]]
 +
 +
== Otevřené problémy ==
 +
* Homotopie sféry nejsou obecně známy.
 +
* Maximální počet nezávislých vektorových polí na n-sféře není obecně znám.
 +
* Počet neizomorfních diferencovatelných struktur n-sféry není obecně znám.
 +
* Není známo, zda 6-sféra připouští strukturu komplexní variety.
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Geometrické útvary]]
[[Kategorie:Geometrické útvary]]
 +
[[Kategorie:Otevřené matematické problémy]]

Verze z 3. 3. 2019, 08:42

V matematice se slovem sféra označuje obvykle kulová plocha, tj. povrch koule, resp. prostor, který je povrchu koule (v různém smyslu) podobný. Sféra dimenze n se někdy značí n-sféra.

Definice

  • V euklidovské geometrii a v klasické analýze je n-rozměrná sféra poloměru r definována <math>S^n:=\{ x\in\R^{n+1}, \sum_i x_i^2=r^2\}</math>
  • V topologii je n-rozměrná sféra topologický prostor homeomorfní výše uvedené euklidovské sféře. Ekvivalentně je sféra jednobodová kompaktifikace prostoru <math>\R^n</math>. Pro <math>n=\infty</math> se také definuje sféra <math>S^\infty</math>, která je v jistém smyslu limitou konečně rozměrných sfér.

Vlastnosti

  • n-sféra je kompaktní, souvislá pro dimenzi n > 0 a pro n>1 také jednoduše souvislá množina.
  • Obsah (dvourozměrné euklidovské) sféry je <math>4\pi r^2</math>, obecněji je objem (n-rozměrná míra) n-rozměrné sféry poloměru r <math>{2\pi^\frac{n+1}{2}\over\Gamma(\frac{n+1}{2})} r^{n}.</math>
  • Eulerova charakteristika n-sféry je 2 pro n sudé a 0 pro n liché.
  • Homologie a kohomologie n-sféry jsou netriviální pouze v dimenzi 0 a n.
  • Libovolná jednoduše souvislá uzavřená 2-rozměrná varieta je homeomorfní 2-sféře.
  • Libovolná jednoduše souvislá uzavřená 3-rozměrná hladká varieta je homeomorfní 3-sféře (Poincarého hypotéza, jediný z sedmi problémů tisíciletí, který byl zatím vyřešen).
  • Jediné sféry, které mají strukturu Lieovy grupy jsou n-sféry pro n = 0, 1, 3 (jsou to sféry jednotkových reálných čísel, komplexních čísel a kvaternionů).
  • Jediné sféry, které jsou úplně paralelizovatelné, jsou <math>S^0, S^1, S^3, S^7</math> (paralelizovatelnost <math>S^7</math> má souvislost s oktoniony).
  • Na n-sféře existuje paralelní hladké nenulové vektorové pole právě když n je liché.
  • 2-sféra může mít strukturu komplexní variety

Otevřené problémy

  • Homotopie sféry nejsou obecně známy.
  • Maximální počet nezávislých vektorových polí na n-sféře není obecně znám.
  • Počet neizomorfních diferencovatelných struktur n-sféry není obecně znám.
  • Není známo, zda 6-sféra připouští strukturu komplexní variety.


Citováno z „http://www2000.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Sf%C3%A9ra_(matematika)“