Normovaná algebra s dělením

Z Multimediaexpo.cz

Nemáte oprávnění „upravit tuto stránku“. Důvod:

Můžete si prohlédnout a zkopírovat zdrojový kód této stránky:

'''Normovaná algebra s dělením''' ''A'', nazývaná též '''Hurwitzova algebra''', je taková [[algebra s dělením]] nad [[Reálné číslo|reálnými čísly]] nebo [[komplexní čísla|komplexními čísly]], která je současně také [[normovaný vektorový prostor]], vybavený normou || · || splňující následující vlastnosti: :<big>\(\|xy\| = \|x\| \|y\|\)</big> pro všechna ''x'' a ''y'', která jsou prvkem v ''A''. Tato vlastnost se též nazývá kompozice či skládání, a proto jsou normované algebry s dělením též nazývané '''[[složené algebry]]'''. Ačkoliv definice připouští normované algebry s dělením o nekonečném počtu dimenzí, fakticky tento případ nenastává. Jedinými typy normovaných algeber s dělením nad reálnými čísly ([[s přesností do]] [[isomorfismus|isomorfismu]]) jsou: *[[Reálné číslo|reálná čísla]], označovaná '''R''' *[[komplexní čísla]], označovaná '''C''' *[[kvaterniony]], označované '''H''' *[[oktoniony]], označované '''O''', což je obsahem tvrzení známého jako ''[[Hurwitzův teorém]]''. Ve všech uvedených případech je norma definovaná pomocí [[absolutní hodnota|absolutní hodnoty]]. Dodejme, že prvé tři typy čísel jsou vlastně [[asociativní algebra|asociativními algebrami]], zatímco oktoniony tvoří [[alternující algebra|alternující algebru]] (určitá slabší forma asociativity). Jedinou možnou asociativní normovanou algebru s dělením nad komplexními čísly představují komplexní čísla samotná. == Fyzikální význam == {{Upravit část}} Mohlo by se zdát, že Hurwitzovy algebry jsou jen jednou z mnoha formálně zavedených matematických struktur, na které je moderní matematika tak štědrá. Tak tomu však zřejmě není. Právě Hurwitzovy algebry totiž korespondují s jednotlivými typy [[Lieova grupa|Lieových grup]], které matematicky reprezentují spojité [[symetrie]] - pro fyziku tak významné. Zejména [[oktoniony]] mají řadu pozoruhodných vlastností, neboť korespondují s řadou výlučných matematických objektů - např. pěti typy [[výlučné Lieovy grupy|výlučných Lieových grup]]. Na tom je založen nedávný "oktonionický boom" v teoretické fyzice, zejména pak částicové fyzice (úsilí o "velké sjednocení" elementárních sil a interakcí, tzv. "teorie všeho").<ref>J. Baez: ''The Octonions''. Bull. Amer. Math. Soc. 39 (2002), 145-205. Errata in Bull Amer. Math. Soc. 42 (2005), 213. On-line: http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/</ref> == Reference == <references/> {{Článek z Wikipedie}} [[Kategorie:Algebra]] [[Kategorie:Algebraické struktury]]

Návrat na stránku „Normovaná algebra s dělením“.