Kleinova-Gordonova rovnice

Z Multimediaexpo.cz

Nemáte oprávnění „upravit tuto stránku“. Důvod:

Můžete si prohlédnout a zkopírovat zdrojový kód této stránky:

'''Kleinova-Gordonova rovnice''' je [[pohybová rovnice]] v jedné z [[speciální teorie relativity|relativistických]] formulací [[kvantová mechanika|kvantové mechaniky]]. Je pojmenována po [[Oskar Klein|Oskaru Kleinovi]] a [[Walter Gordon|Walteru Gordonovi]], nezávisle na nich ji ale odvodil také [[Vladimir Alexandrovič Fok]]. Popisuje chování částic s nulovým [[spin]]em (tzv. skalární [[mezon]]y). Jde o parciální [[diferenciální rovnice|diferenciální rovnici]] druhého řádu. :<big>\(\left( \square - {m^2c^2\over\hbar^2} \right)\psi = 0\)</big> Zde <big>\(m\)</big> je klidová [[hmotnost]] částice, <big>\(c\)</big> je [[rychlost světla]] ve vakuu, <big>\(\hbar\)</big> je redukovaná [[Planckova konstanta]], <big>\(\psi\)</big> je [[vlnová funkce]] a <big>\(\square\)</big> je [[d'Alembertův operátor]] obsahující druhé [[parciální derivace]] podle času a kartézských souřadnic polohy. : <big>\(\square = \Delta - {1\over c^2}{\partial^2\over\partial t^2}={\partial^2\over\partial x^2} + {\partial^2\over\partial y^2} + {\partial^2\over\partial z^2} - {1\over c^2}{\partial^2\over\partial t^2}\)</big> (<big>\(\Delta=\nabla\cdot\nabla\)</big> je [[Laplaceův operátor]], <big>\(\nabla\)</big> je operátor [[nabla]], tečka značí [[skalární součin]].) == Motivace == Důvodem k náhradě [[Schrödingerova rovnice|Schrödingerovy rovnice]] jinou pohybovou rovnicí je fakt, že nezohledňuje [[speciální teorie relativity|speciální teorii relativity]]. Proto nemůže být správná v situacích, kdy [[rychlost]]i částic jsou řádově srovnatelné s rychlostí světla ve vakuu. Vztah pro [[Hamiltonián]] :<big>\(\hat{H} = \hat{T} + \hat{V} ={\hat{\mathbf{p}}^2\over 2m}+V\)</big> vychází z [[Newtonova mechanika|newtonovského]] výrazu pro [[kinetická energie|kinetickou energii]] <big>\(T = m\mathbf{v}^2/2 = \mathbf{p}^2/\left(2m\right)\)</big>, který při velkých rychlostech neplatí. Navíc Schrödingerova rovnice obsahuje první parciální derivaci vlnové funkce podle času a druhé derivace podle prostorových souřadnic, takže není invariantní vůči [[Lorentzovy transformace|Lorentzovým transformacím]]. == Odvození == Energie ve speciální relativitě je dána velikostí [[čtyřvektor]]u energie-hybnosti. Druhá mocnina jeho velikosti je :<big>\(E^2=c^2\mathbf{p}^2+m^2c^4\,,\)</big> kde <big>\(m\)</big> je klidová [[hmotnost]] částice, <big>\(\mathbf{p}\)</big> je [[vektor]] hybnosti a <big>\(c\)</big> je [[rychlost světla]] ve vakuu. Kleinovu-Gordonovu rovnici dostaneme dosazením kvantových operátorů pro [[energie|energii]] a [[hybnost]] do tohoto vztahu. :<big>\(\hat{E} = i\hbar {\partial\over\partial t}\)</big> :<big>\(\hat{p} = -i\hbar\nabla\)</big> (Konstanta <big>\(i\)</big> je [[imaginární jednotka]].) Rovnost operátorů chápeme ve smyslu stejného působení na vlnovou funkci a dostáváme: :<big>\(-\hbar^2{\partial^2\psi\over\partial t^2} = -\hbar^2c^2\Delta\psi + m^2c^4\psi\,.\)</big> Rovnici vydělíme <big>\(\hbar^2c^2\)</big>, odečteme pravou stranu a získáme :<big>\(\Delta\psi-{1\over c^2}{\partial^2\psi\over\partial t^2} - {m^2c^2\over\hbar^2}\psi = 0\,,\)</big> kde je na levé straně již vidět působení operátoru <big>\(\square\)</big> na vlnovou funkci. Obdrželi jsme tedy Kleinovu-Gordonovu rovnici. Při přechodu do jiné [[inerciální vztažná soustava|inerciální vztažné soustavy]], čili pri Lorentzových transformacích, se d'Alembertův operátor chová jako [[skalár]], tedy právě jako konstanta <big>\(\left(mc/\hbar\right)^2\)</big>, kde <big>\(m\)</big> je klidová hmotnost. Rovnice je tedy v souladu se speciální teorií relativity a z tohoto hlediska správně popisuje chování vlnové funkce. V jednorozměrném případě stačí vzít v úvahu pouze ''x''-ovou část vektoru hybnosti. Příslušný operátor je <big>\(\hat{p_x} = -i\hbar\left(\partial/\partial x\right)\)</big> a Kleinova-Gordonova rovnice přejde na tvar :<big>\({\partial^2\psi\over\partial x^2} - {1\over c^2}{\partial^2\psi\over\partial t^2} = {m^2c^2\over\hbar^2}\psi \,.\)</big> == Problémy == Kleinova-Gordonova rovnice je rovnicí druhého řádu v čase. To znamená, že pro její řešení je nutné jako [[počáteční podmínky|počáteční podmínku]] zadat nejen vlnovou funkci <big>\(\psi\left(\mathbf{r},t\right)\)</big> v okamžiku <big>\(t=t_0\)</big>, ale zároveň i její [[derivace|derivaci]] <big>\(\partial\psi/\partial t\)</big>. V důsledku z toho také plyne, že veličina :<big>\(\rho = {i\hbar\over2mc^2}\left( \psi^*{\partial\psi\over\partial t}-\psi{\partial\psi^*\over\partial t} \right)\,,\)</big> která by měla odpovídat [[hustota pravděpodobnosti|hustotě pravděpodobnosti]], může nabývat i záporných hodnot. To vedlo [[Paul Dirac|Paula Diraca]] ke hledání lepší pohybové rovnice, které dnes říkáme [[Diracova rovnice]]. Při jejím odvození předpověděl Dirac existenci [[antihmota|antihmoty]] a také zcela novou fyzikální veličinu ([[spin]]), která nemá v klasické fyzice analogii. Bez těchto úvah nelze problémy Kleinovy-Gordonovy rovnice korektně vyřešit, takže popisuje správně pouze částice s nulovým spinem. == Související články == * [[Schrödingerova rovnice]] * [[Diracova rovnice]] * [[Pohybová rovnice]] == Externí odkazy == * {{MathWorld|id=Klein-GordonEquation}} {{Článek z Wikipedie}} [[Kategorie:Kvantová fyzika]] [[Kategorie:Speciální teorie relativity]]

Návrat na stránku „Kleinova-Gordonova rovnice“.