Eulerova konstanta

{{Upravit}}<br />
: ''Možná hledáte'': [[Eulerovo číslo]]
'''Eulerova konstanta''' nebo též '''Eulerova–Mascheroniho konstanta''' je [[matematická konstanta]] používaná v [[teorie čísel|teorii čísel]] a v [[matematická analýza|analýze]]. O této konstantě není známo, zda je [[racionální číslo|racionální]] či [[iracionální číslo|iracionální]].<ref>{{MathWorld|Euler-MascheroniConstant}}</ref>

Eulerova konstanta je přibližně rovna: 0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 … .<ref name="OEIS">[http://www.research.att.com/~njas/sequences/A001620 Eulerova konstanta na OEIS]</ref>

== Definice ==
Nejsnadneji lze tuto konstantu definovat jako následující limitu:

<big>\(\gamma = \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots + \frac{1}{n}-\ln n \right)\)</big>

Je obecně známo, že harmonická řada vyskytující se v limitě je řadou divergentní, má tedy nekonečný součet. To že výše uvedená limita je vlastní označuje skutečnost, že pro velká <big>\(n\)</big> můžeme součet harmonické řady aproximovat přirozeným logaritmem, jenž je v nekonečnu taktéž nekonečný.

== Geometrická představa ==
[[Soubor:Gamma-area.png|thumb|230px|Obsah modré plochy se rovná Eulerově konstantě]]
Hodnotu konstanty <big>\(\gamma\)</big> si můžeme představit i geometricky. Zobrazíme-li grafy funkci

<big>\(f(x)=\frac{1}{\lfloor x \rfloor},\)</big>

<big>\(g(x)=\frac{1}{x},\)</big>

kde <big>\(\lfloor x \rfloor\)</big> značí (dolní) [[celá část|celou část]] čísla <big>\(x\)</big>, pak obsah plochy mezi těmito dvěma grafy pro x od 1 do nekonečna je právě roven Eulerově konstantě <big>\(\gamma\)</big>:

<big>\(\gamma= \int_1^\infty \left( \frac{1}{\lfloor x \rfloor} - \frac{1}{x}\right) dx.\)</big>

== Reference ==
<references/>
== Externí odkazy ==
* {{MathWorld|Euler-MascheroniConstant}}


{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Matematické konstanty]]