Algebraická struktura

Z Multimediaexpo.cz

Nemáte oprávnění „upravit tuto stránku“. Důvod:

Můžete si prohlédnout a zkopírovat zdrojový kód této stránky:

'''Algebraická struktura''' je v [[matematika|matematice]] každá [[množina]], na které jsou definované nějaké [[operace (matematika)|operace]] a daná množina je vzhledem k těmto operacím [[Uzavřená množina vůči operaci|uzavřená]], tzn. že výsledkem operace nad prvky této množiny je vždy také prvek této množiny. Algebraická struktura je speciálním případem [[struktura (logika)|struktury]] definované v [[matematická logika|matematické logice]]. Studiem konkrétních algebraických struktur se zabývá [[abstraktní algebra]], resp. její různé disciplíny – [[teorie grup]], [[teorie okruhů]], [[teorie těles]],… Studiem vlastností, které mají všechny nebo mnoho algebraických struktur společné, se zabývá [[univerzální algebra]] a ještě obecněji (se zahrnutím i jiných než algebraických struktur) pak [[teorie kategorií]]. == Definice == Mějme neprázdnou množinu ''M'' a [[Prázdná množina|neprázdnou množinu]] operací ''O'' na množině ''M''. Pak se [[uspořádaná dvojice]] (''M'', ''O'') nazývá '''algebraická struktura'''. Množina ''M'' se pak nazývá '''nosič''' této algebraické struktury. == Příklady == === Algebraické struktury === * ('''N'''; +) – množina [[přirozené číslo|přirozených čísel]] s operací [[sčítání]]. * ('''N'''; .) – množina přirozených čísel s operací [[násobení]]. * ('''N'''; +, .) – množina přirozených čísel s operacemi sčítání a násobení. * [[Booleova algebra|Booleovy algebry]], [[grupa|grupy]], [[okruh (algebra)|okruhy]], [[těleso (algebra)|tělesa]], [[vektorový prostor|vektorové prostory]] a [[svaz (matematika)|svazy]] jsou algebraické struktury. === Nejsou algebraickými strukturami === * ('''N'''; -) – množina [[přirozené číslo|přirozených čísel]] není vzhledem k operaci [[odčítání]] uzavřená. Např. 2 ∈ '''N''', 3 ∈ '''N''', ale 2-3 ∉ '''N'''. * ('''N'''; :) – množina přirozených čísel není vzhledem k operaci [[dělení]] uzavřená. Např. 5 ∈ '''N''', 3 ∈ '''N''', ale 5:3 ∉ '''N'''. === Vztah k relačním strukturám a modelům === Protože každou ''n''-ární [[operace (matematika)|operaci]] lze považovat za (''n''+1)-ární [[relace (matematika)|relaci]], je každá algebraická struktura zároveň [[Relační struktura|relační strukturou]]. Příkladem relační struktury, která není algebraickou strukturou, je [[uspořádaná množina]] a [[neorientovaný graf]]. Strukturu, která obsahuje algebraické operace a/nebo relace, lze reprezentovat jako [[Model (logika)|model]] jazyka [[Predikátová logika prvního řádu|prvního řádu]]; ne vždy však lze tyto struktury vymezit pomocí teorie prvního řádu. Příkladem struktury, kde to lze, je [[grupa]] – grupami jsou právě modely teorie grup (zde slovem "teorie" není myšlena oblast matematiky zabývající se grupami, ale konkrétní [[formální teorie]] [[Predikátová logika prvního řádu|predikátové logiky]]). Podobně [[Lineární uspořádání|lineárně uspořádané množiny]] jsou právě modely teorie lineárních uspořádání. Totéž ale neplatí pro [[Dobře uspořádaná množina|dobře uspořádané množiny]]. Existenci nejmenšího prvku ke každé podmnožině nelze popsat žádným (ani nekonečným) počtem formulí prvního řádu. Dobře uspořádané množiny jsou tedy ty [[Model (logika)#Model jazyka|modely jazyka]] teorie uspořádání (model jazyka nemusí splňovat axiomy, na rozdíl od modelu teorie), které splňují jistou vlastnost (každá neprázdná podmnožina struktury má nejmenší prvek), kterou nelze zapsat jako soustavu formulí. [[Matematická struktura#Přehled matematických struktur|Existuje]] též mnoho matematických struktur, které nespadají do žádné z výše uvedených kategorií (algebraická, relační, reprezentovatelná jako model). Příkladem jsou [[Metrický prostor|metrické]] a [[Topologický prostor|topologické prostory]]. == Vlastnosti operací == * [[asociativita]] * [[neutrální prvek]] * [[inverzní prvek]] * [[komutativita]] * [[distributivita]] == Klasifikace == === Algebraické struktury s jednou operací === * '''[[Grupoid]]''' je algebraická struktura s jednou operací. * '''[[Kvazigrupa]]''' je grupoid uzavřený vzhledem k operaci [[Inverzní prvek|inverze]]. * '''[[Pologrupa]]''' je asociativní grupoid. * '''[[Monoid]]''' je pologrupa s neutrálním prvkem. * '''[[Grupa]]''' je monoid s inverzními prvky. * '''[[Abelova grupa]]''' je grupa s komutativní operací. === Algebraické struktury se dvěma operacemi === * '''[[Polookruh]]''' je algebraická struktura s distributivností, která je vzhledem ke sčítání komutativní [[monoid]] a vzhledem k násobení [[monoid]]. * '''[[okruh (algebra)|Okruh]]''' je algebraická struktura s distributivností, která je vzhledem ke sčítání komutativní grupou a vzhledem k násobení [[pologrupa]]. * '''[[Obor integrity]]''' je okruh s [[jednotkový prvek|jednotkovým prvkem]], který neobsahuje netriviální dělitele nuly. * '''[[těleso (algebra)|Těleso]]''' je okruh, který je grupou vzhledem k násobení. * '''[[pole (algebra)|Pole]]''' je těleso, které je vzhledem k násobení komutativní grupou. === Algebraické struktury s uspořádáním === * '''[[Částečně uspořádaná množina]]''' ('''poset''') * '''[[Polosvaz]]''' * '''[[svaz (matematika)|Svaz]]''' (například [[Booleova algebra]]) == Související články == * [[Algebra]] * [[Aritmetika]] * [[Teorie množin]] {{Článek z Wikipedie}} [[Kategorie:Algebra]]

Návrat na stránku „Algebraická struktura“.