Úplný svaz

Z Multimediaexpo.cz

Nemáte oprávnění „upravit tuto stránku“. Důvod:

Můžete si prohlédnout a zkopírovat zdrojový kód této stránky:

'''Úplný svaz''' je [[Matematika|matematický]] pojem z oboru [[teorie uspořádání]], který vymezuje mezi [[uspořádaná množina|uspořádanými množinami]] ty, které jsou uspořádány „rozumně“ (to znamená, že zachovávají [[Supremum|suprema]] a [[Infimum|infima]]). Na rozdíl od [[Svaz (matematika)|svazu]], kde je zachování suprem a infim požadováno pro dvouprvkové podmnožiny, pro úplný svaz je toto požadováno pro libovolné (tedy i nekonečné) podmnožiny. == Definice == Množinu <big>\( X \,\! \)</big> uspořádanou [[Binární relace|relací]] <big>\( R \,\! \)</big> nazveme úplným svazem, pokud pro každou svou [[Podmnožina|podmnožinu]] obsahuje i její supremum a infimum.<br /> <big>\( ( \forall Y \subseteq X) (\exists i,s \in X) ( i = \inf\nolimits_R(Y) \land s = \sup\nolimits_R(Y) ) \,\! \)</big> == Příklady a vlastnosti == Už z názvu je vidět, že každý úplný svaz je zároveň [[Svaz (matematika)|svaz]]. (Pokud obsahuje supremum a infimum pro každou podmnožinu, pak je obsahuje určitě i pro dvouprvkové podmnožiny – a to je přesně to, o co jde v definici svazu). Je proto přirozené hledat příklady úplného svazu mezi svazy a ptát se, které z nich jsou úplné. === Úplný svaz potenční algebry === [[Potenční algebra]] (tj. množina všech podmnožin nějaké množiny s uspořádáním relací „být podmnožinou“) je úplný svaz, protože sjednocení je v tomto případě supremem a průnik infimem.<br /> Pokud je tedy <big>\( X = \mathbb{P}(X_0) \,\!\)</big> [[potenční množina]] a <big>\( Y \subseteq X \,\! \)</big> je nějakou množinou podmnožin <big>\( X_0 \,\!\)</big> * <big>\( inf_{\subseteq}(Y) = \bigcap Y \,\! \)</big> * <big>\( sup_{\subseteq}(Y) = \bigcup Y \,\! \)</big> === Svazy, které nejsou úplné === Úplný svaz musí mít [[největší prvek]] a [[nejmenší prvek]] – musí totiž obsahovat supremum a infimum sebe sama (tj. celé množiny <big>\( X \,\! \)</big>). Z toho vyplvývá, že například [[Přirozené číslo|přirozená čísla]] nebo [[Reálné číslo|reálná čísla]] při běžném uspořádání podle velikosti nemohou být úplný svaz (nemají totiž největší prvek) – jedná se o dva příklady [[Svaz (matematika)|svazu]], který není úplným svazem. === Zúplnění svazu reálných čísel === O reálných číslech <big>\( \mathbb{R} \,\! \)</big> víme, že se jedná o svaz, navíc jejich [[Omezená množina|omezené množiny]] mají supremum a infimum. Pokud by se podařilo nějak přidělit supremum a infimum i neomezeným množinám reálných čísel, získali bychom úplný svaz. Uvažujme o [[Množina|množině]], která vznikne z <big>\( \mathbb{R} \,\! \)</big> jejich rozšířením o dva prvky: <big>\( +\infty \,\! \)</big> je větší, než všechny čísla z <big>\( \mathbb{R} \,\! \)</big> a <big>\( -\infty \,\! \)</big> je menší, než všechna čísla z <big>\( \mathbb{R} \,\! \)</big>. (Díky [[Tranzitivní relace|tranzitivitě]] uspořádání platí také, že <big>\( -\infty < +\infty \,\! \)</big> ). Získali jsme množinu <big>\( \mathbb{R} \cup \{ -\infty, +\infty \} \,\! \)</big>, která již je úplný svaz: * omezené množiny z <big>\( \mathbb{R} \,\! \)</big> mají supremum a infimum v <big>\( \mathbb{R} \,\! \)</big> * zdola neomezená množina z <big>\( \mathbb{R} \,\! \)</big> má infimum <big>\( -\infty \,\! \)</big> * shora neomezená množina z <big>\( \mathbb{R} \,\! \)</big> má supremum <big>\( +\infty \,\! \)</big> * množina obsahující <big>\( -\infty \,\! \)</big> má infimum <big>\( -\infty \,\! \)</big> * množina obsahující <big>\( +\infty \,\! \)</big> má supremum <big>\( +\infty \,\! \)</big> == Související články == * [[Svaz (matematika)|Svaz]] * [[Potenční algebra]] * [[Reálné číslo|Reálná čísla]] * [[Dedekindův řez]] == Externí odkazy == {{Článek z Wikipedie}} [[Kategorie:Algebraické struktury]] [[Kategorie:Teorie uspořádání]]

Návrat na stránku „Úplný svaz“.