Skewesovo číslo

Z Multimediaexpo.cz

Nemáte oprávnění „upravit tuto stránku“. Důvod:

Můžete si prohlédnout a zkopírovat zdrojový kód této stránky:

'''První''' a '''druhé Skewesovo číslo''' jsou jedněmi z největších čísel, která byla použita v [[matematika|matematice]].<ref>Čísel je samozřejmě nekonečně mnoho, ale Skewesova čísla jsou zřejmě největší známé údaje, které mají nějaký věcný obsah. Pro představu např. počet elementráních částic ve známém vesmíru se odhaduje na <math>10^{100}</math>. Viz {{Citace monografie | příjmení = Mareš | jméno = Milan | odkaz na autora = | titul = Příběhy matematiky | url = | vydavatel = Pistorius | místo = Příbram | rok = 2008 | počet stran = | kapitola = | strany = 146 | isbn = 978-80-87053-16-4 | jazyk = }} </ref> Jsou pojmenována po [[Jihoafrická republika|jihoafrickém]] [[matematik]]ovi [[Stanley Skewes|Stanleym Skewesovi]], který je poprvé použil. Obě Skewesova čísla byla ve své době nejmenšími známými [[horní odhad|horními odhady]] pro řešení dvou souvisejících problémů [[teorie čísel]]. První Skewesovo číslo bývá často nazýváno jen '''Skewesovo číslo'''. Hodnota prvního Skewesova čísla je <math>\mathrm e^{ \mathrm e^{ \mathrm e^{79} } }</math>, což je přibližně <math>10^{10^{8,85\times 10^{33}} }</math> nebo <math>10^{10^{10^{34}}}</math>, hodnota druhého Skewesova čísla je <math>10^{10^{10^{1000}}}</math>. == Historie vzniku == Skewesova čísla vznikla jako [[horní odhad]]y pro řešení následujícího problému. Nechť π(''x'') značí počet [[prvočíslo|prvočísel]] menších než ''x'' a ''Li''(''x'') [[logaritmický integrál]], tj. hodnotu <math>\int^x_2\frac{\mathrm{d}t}{\ln t}</math>. Například z [[věta o prvočíslech|věty o prvočíslech]] plyne asymptotický vztah <math>\,\pi(x)\sim \hbox{Li}(x)</math> (tj. <math>\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\pi(x)}{\hbox{Li}(x)}=1</math>), který zhruba řečeno říká, že „hodnoty funkcí π a ''Li'' jsou pro velké argumenty ''x'' přibližně stejné“. Přirozenou otázkou proto je, která z těchto dvou funkcí je větší? Pro malá [[přirozené číslo|přirozená čísla]] ''x'' převažuje funkce ''Li'', jak lze snadno spočítat. Skewesův učitel [[John Edensor Littlewood]] [[matematický důkaz|dokázal]] v roce [[1914]], že tomu tak není pro všechna čísla – existuje ''n'' přirozené takové, že π(''n'')>''Li''(''n''), a tedy nejmenší takové ''n'' (Littlewood dokázal dokonce více – funkce (π - ''Li'')(''x'') mění v oboru přirozených čísel znaménko [[nekonečno|nekonečněkrát]])<ref>[[John Edensor Littlewood|J. E. Littlewood]]. „Sur la distribution des nombres premiers“, ''Comptes Rendus'' 158 (1914), pp. 1869-1872</ref>. Problém Littlewoodova důkazu spočíval v tom, že byl „neefektivní“, tj. nebylo z něj možné určit (ani přibližně) hodnotu tohoto ''n''. [[Stanley Skewes]] předvedl první efektivní důkaz v roce [[1933]]<ref>Stanley Skewes: „On the difference π(''x'')&nbsp;−&nbsp;Li(''x'')“, ''Journal of the London Mathematical Society'' '''8''' (1933), pp. 277-283. </ref>. Prokázal, že za předpokladu [[Riemannova hypotéza|Riemannovy hypotézy]] je nejmenší ''n'', pro něž π(''n'')>''Li''(''n''), menší než <math>\mathrm e^{ \mathrm e^{ \mathrm e^{79} } }</math> (přibližně <math>10^{10^{8,85\times 10^{33}} }</math>). Tento horní odhad dostal název Skewesovo číslo (později přejmenované na první Skewesovo číslo). V roce [[1955]] se již Skewes dokázal obejít bez dodatečného předpokladu Riemannovy hypotézy, když byl v takovém případě schopen odhadnout velikost ''n'' hodnotou <math>10^{10^{10^{1000}}}</math> nazvanou později druhé Skewesovo číslo<ref>Stanley Skewes: „On the difference π(''x'')&nbsp;−&nbsp;Li(''x'') (II)“, ''Proceedings of the London Mathematical Society'' 5 (1955), pp. 48-70.</ref>. == Pozdější vylepšení == V roce [[2000]] dokázali Bays a Hudson vylepšit Skewesovy odhady na 1,39822×10³¹⁶, a to bez předpokladu Riemannovy hypotézy<ref>C. Bays and R. H. Hudson. "[http://www.ams.org/mcom/2000-69-231/S0025-5718-99-01104-7/S0025-5718-99-01104-7.pdf A new bound for the smallest x with π(x)>li(x)]". ''Mathematics of Computation'' '''69''' (2000), no. 231, pp. 1285–1296</ref>. == Související články == * [[Grahamovo číslo]] * [[Stanley Skewes]] == Literatura == * [[Herman J.J. te Riele|H. J. J. te Riele]]. „On the difference π(''x'')&nbsp;−&nbsp;Li(''x'')“, ''Mathematics of Computation'' '''48''' (1987), pp. 323-328 – Vylepšení Skewesova odhadu, později překonané Baysem a Hudsonem == Reference == <references /> == Externí odkazy == * {{MathWorld|id=SkewesNumber|název=Skewesovo číslo}} * C. Bays and R. H. Hudson. "[http://www.ams.org/mcom/2000-69-231/S0025-5718-99-01104-7/S0025-5718-99-01104-7.pdf A new bound for the smallest x with π(x)>li(x)]". ''Mathematics of Computation'' '''69''' (2000), no. 231, pp. 1285–1296 – Baysův a Hudsonův dosud nejlepší známý odhad {{Článek z Wikipedie}} [[Kategorie:Čísla]] [[Kategorie:Teorie čísel]]

Návrat na stránku „Skewesovo číslo“.