Gaussův zákon elektrostatiky

Z Multimediaexpo.cz

Nemáte oprávnění „upravit tuto stránku“. Důvod:

Můžete si prohlédnout a zkopírovat zdrojový kód této stránky:

'''Gaussův zákon elektrostatiky''' vyjadřuje vztah mezi [[Tok elektrické intenzity|tokem elektrické intenzity]] a [[Elektrický náboj|elektrickým nábojem]]. == Formulace zákona == Gaussův zákon lze vyjádřit následující formulací: :''[[Tok elektrické intenzity]] <big>\(\Phi_E\)</big> libovolnou uzavřenou [[plocha|plochou]] ([[Gaussova plocha|Gaussovou plochou]]) je [[přímá úměra|přímo úměrný]] [[elektrický náboj|elektrickému náboji]] <big>\(Q\)</big> nacházejícímu se uvnitř této plochy. [[konstanta|Konstantou]] úměrnosti je převrácená hodnota [[Permitivita vakua|permitivity vakua]] <big>\(\varepsilon_0\)</big>.'' Uvedené tvrzení bývá zapisováno v matematické podobě jako :<big>\(\Phi_E = \frac {Q}{\varepsilon_0}\)</big> Vyjádřením toku intenzity elektrického pole lze získat také vztah :<big>\(\Phi = \oint_S \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = \frac{Q}{\varepsilon_0}\)</big> Toto vyjádření Gaussova zákona bývá také označováno jako ''Gaussův zákon elektrostatiky v [[integrál|integrálním]] tvaru''. Gaussův zákon lze formulovat nejen pro soustavu [[bodový náboj|bodových nábojů]], ale také pro spojitě rozložené náboje. Pokud uvažujeme uzavřenou plochu <big>\(S\)</big> libovolného tvaru, která tvoří hranici [[těleso|tělesa]] o [[objem]]u <big>\(V\)</big>, které obsahuje celkový náboj <big>\(Q\)</big>, který může být tvořen bodovými i spojitě rozloženými elektrickými náboji, pak pro tok intenzity elektrostatického pole plochou S platí vztah :<big>\(\oint_S \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = \frac{Q}{\varepsilon_0}\)</big> Pokud se uvnitř plochy <big>\(S\)</big> nachází pouze [[objemový náboj|objemově rozložené náboje]], lze celkový náboj určit ze vztahu <big>\(Q=\int_V\rho(\mathbf{r})\mathrm{d}V\)</big>, což v kombinaci s předchozím vztahem dá výraz :<big>\(\oint_S \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = \frac{1}{\varepsilon_0}\int_V\rho\mathrm{d}V\)</big> Úpravou levé strany pomocí [[Gaussova věta|Gaussovy věty]] dostaneme :<big>\(\int_V\operatorname{div}\,\mathbf{E}\mathrm{d}V = \frac{1}{\varepsilon_0}\int_V\rho\mathrm{d}V\)</big> Aby tato [[rovnice]] platila pro libovolně zvolený objem <big>\(V\)</big>, musí se integrované funkce rovnat v každém bodě, tzn. :<big>\(\operatorname{div}\,\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{\rho(\mathbf{r})}{\varepsilon_0}\)</big> Tento vztah je pouze jiným vyjádřením Gaussova zákona. Nevztahuje se však k [[plocha|ploše]] nebo [[objem]]u, ale pouze k danému [[bod]]u [[Soustava souřadnic|prostoru]], a je označován jako ''Gaussův zákon elektrostatiky v [[diferenciální počet|diferenciálním]] tvaru''. == Gaussův zákon v dielektriku == V [[dielektrikum|dielektriku]] se Gaussův zákon vyjadřuje pomocí [[elektrická indukce|elektrické indukce]] <big>\(\mathbf{D}\)</big> v integrálním tvaru jako :<big>\(\oint_S\mathbf{D}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = Q\)</big> nebo v diferenciálním tvaru jako :<big>\(\operatorname{div}\,\mathbf{D} = \rho\)</big> V tomto tvaru má zákon obecnou platnost, tedy i pro proměnné elektromagnetické pole. Představuje jednu z [[Maxwellovy rovnice|Maxwellových rovnic]]. == Počet siločar == Často se lze setkat s jinou formulací Gaussova zákona elektrostatiky: :''Celkový počet [[siločára|siločar]] procházejících uzavřenou plochou libovolného tvaru, která v [[elektrostatické pole|elektrostatickém poli]] uzavírá [[elektrický náboj]] <big>\(Q\)</big>, je roven podílu velikosti náboje <big>\(Q\)</big> uvnitř této plochy a [[permitivita|permitivity]] [[vakuum|vakua]] <big>\(\varepsilon_0\)</big>, přičemž nezáleží na rozložení elektrického náboje.'' Teoreticky je možné vést každým bodem elektrostatického pole nějakou siločáru. Ukazuje se však výhodnější omezit počet siločar, aby souvisel s velikostí toku intenzity elektrostatického pole vztahem :<big>\(N = \Phi\)</big>, kde <big>\(N\)</big> označuje počet siločar. V takovém případě se Gaussův zákon zapisuje ve tvaru :<big>\(N = \frac{Q}{\varepsilon_0}\)</big> == Vlastnosti == * Gaussův zákon elektrostatiky se používá pro výpočet intenzity [[elektrické pole|elektrického pole]] v různých bodech prostoru, zpravidla lze-li uplatnit některé [[symetrie]] problému. Je přímým důsledkem [[gaussova věta|Gaussovy věty]] a [[maxwellovy rovnice|Maxwellových rovnic]]. * Jestliže uvnitř plochy není uzavřeno žádné [[těleso]] s elektrickým nábojem, pak je celkový tok elektrické intenzity touto plochou nulový. * Jestliže má plocha [[Koule|kulový]] tvar [[poloměr]]u ''r'' a v jejím středu se nachází [[bodový náboj|bodový elektrický náboj]] ''Q'', pak [[intenzita elektrického pole]] v libovolném bodě na ploše má velikost :<big>\(E = \frac {\Phi_E}{4 \pi r^2} = \frac {1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac {Q}{r^2}\)</big> Stejný vztah lze však získat také z [[Coulombův zákon|Coulombova zákona]]. Gaussův zákon elektrostatiky je ''ekvivalentní'' s Coulombovým zákonem. * Uvnitř nabitého [[Elektrický vodič|vodivého]] tělesa je ''[[nula|nulová]]'' [[elektrická intenzita]]. Protože elektrický náboj se u vodiče v ustáleném stavu rozmístí vždy na povrchu tělesa, pak podle Gaussova zákona musí být tok intenzity libovolnou plochou uvnitř tělesa nulový, a tím musí být v libovolném bodě uvnitř tělesa také nulová elektrická intenzita. Této skutečnosti využívá např. [[van de Graaffův generátor]]. == Související články == * [[Elektřina]] * [[Elektrostatika]] * [[Tok intenzity elektrického pole]] * [[Elektrický náboj]] == Literatura == * {{Citace monografie | příjmení = Sedlák | jméno = Bedřich | autor = | odkaz na autora = | příjmení2 = Štoll | jméno2 = Ivan | autor2 = | odkaz na autora2 = | příjmení3 = | jméno3 = | autor3 = | odkaz na autora3 = | spoluautoři = | korporace = | odkaz na korporaci = | titul = Elektřina a magnetismus | odkaz na titul = | url = | formát = | editoři = | redaktoři = | překladatelé = | ilustrátoři = | další = | vydání = | typ vydání = | vydavatel = | místo = | rok = | měsíc = | den = | rok tisku = | měsíc tisku = | den tisku = | rok copyrightu = | počet svazků = | počet stran = 650 | přílohy = | edice = | subedice = | svazek edice = | kapitola = | typ kapitoly = | url kapitoly = | strany = | svazek = | typ svazku = | isbn = 80-200-1004-1 | doi = | id = | poznámka = | jazyk = }} {{Článek z Wikipedie}} [[Kategorie:Elektrostatika]] [[Kategorie:Elektromagnetismus]] [[Kategorie:Fyzikální zákony]]

Návrat na stránku „Gaussův zákon elektrostatiky“.