Schwarzschildův poloměr

'''Schwarzschildův poloměr''' je charakteristická [[vzdálenost]] pro každou [[hmotnost]]. Je to poloměr [[koule]], do které musí být veškerá [[hmota]] o dané hmotnosti stlačena, aby již žádná [[síla]] nemohla odvrátit její zhroucení do [[gravitační singularita|gravitační singularity]]. Tento termín se používá ve [[fyzika|fyzice]] a [[astronomie|astronomii]], zejména v teoriích [[gravitace]] jako je například [[Obecná teorie relativity]]. Tento poloměr byl poprvé odvozen roku [[1916]] Karlem Schwarzschildem (1873–1916), když vyplynul z&nbsp;jeho přesného řešení [[Einsteinovy rovnice gravitačního pole|Einsteinových rovnic gravitačního pole]] vně nerotujícího sféricky symetrického [[těleso|tělesa]].

Schwarzschildův poloměr <big>\(r_s</math> je [[přímá úměrnost|přímo úměrný]] dané hmotnosti <big>\(m</math>. Vzorec pro jeho výpočet je:
: <big>\(r_s = \frac{2Gm}{c^2}</math>, kde <big>\(G</math> je [[gravitační konstanta]] a <big>\(c</math> [[rychlost světla]].

Zajímavé je, že tento vzorec lze odvodit z čistě nerelativistické [[newtonovská fyzika|newtonovské fyziky]], když se do vzorce pro výpočet [[úniková rychlost|únikové rychlosti]] dosadí rychlost světla. Obecně se má za to, že takovýto výsledek je správný jen čistě náhodou. Použité fyzikální konstanty nejsou tolik překvapivé, ty se dají odvodit již při [[rozměrová analýza|rozměrové analýze]]. Zvláštní a překvapivou shodou je konstanta 2. Tento poloměr takto odvodil již Pierre-Simon Laplace v roce 1798.

Vzorec lze ještě zjednodušit dosazením za konstanty:

: <big>\(r_s = m \times 1.48 \times 10^{-27}</math>, kde <big>\(r_s</math> je v [[metr]]ech a <big>\(m</math> v [[kilogram]]ech.

Pro hmotnost našeho [[Slunce]] vychází Schwarzschildův poloměr přibližně 3&nbsp;[[kilometr|km]], zatímco pro naši [[Země|Zemi]] zhruba pouhých 9&nbsp;[[Metr|mm]].

Objekt menší než Schwarzschildův poloměr odpovídající jeho hmotnosti se nazývá [[černá díra]]. Její povrch je pak pro nerotující těleso [[horizont událostí|horizontem událostí]]. [[černá díra#Rotující černé díry|Rotující černá díra]] vypadá trochu odlišně.

Žádná hmotná [[částice]] a ani [[světlo]] nemůže uniknout zpod povrchu černé díry. Schwarzschildův poloměr [[obří černá díra|obří černé díry]] ve středu naší [[Galaxie Mléčná dráha|Galaxie]] je zhruba 7,8 milionů km (asi dvacetinásobek vzdálenosti ze Země na Měsíc). Schwarzschildův poloměr pro kouli s průměrnou hustotou rovnou [[kritická hustota|kritické hustotě]] odpovídá poloměru [[viditelný vesmír|viditelného vesmíru]].

== Další použití pro Schwarzschildův poloměr ==
=== Schwarzschildův poloměr v gravitační časové dilataci ===
[[Gravitační časová dilatace]] v blízkosti velkého, pomalu rotujícího, téměř kulového tělesa, jako je například [[Země]] nebo [[Slunce]] může být aproximována použitím Schwarzschildova poloměru následovně: 

:<big>\( \frac{t_r}{t} = \sqrt{1 - \frac{r_s}{r}} </math>

kde:
: <big>\(t_r\!</math> je uplynulý čas pro pozorovatele na souřadnici "r" uvnitř gravitačního pole;
: <big>\(t\!</math> je uplynulý čas pro pozorovatele vzdáleného od masivního objektu (a tudíž vně gravitačního pole);
: <big>\(r\!</math> je vzdálenost pozorovatele (analogicky: klasická vzdálenost od středu objektu);
: <big>\(r_s\!</math> je Schwarzschildův poloměr.

Výsledek Pound, Rebka experimentu v roce 1959 byl souhlasný s předpovědí obecné teorie relativity. Tento experiment změřením gravitační časové dilatace Země, nepřímo měří Schwarzschildův poloměr Země.

=== Schwarzschildův poloměr v Newtonově gravitačním poli ===
V Newtonovském gravitačním poli blízko velkého, pomalu rotujícího, téměř kulového tělesa můžeme Schwarzschildův poloměr použít následovně:

: <big>\( \frac{g}{r_s} \left( \frac{r}{c} \right)^2 = \frac{1}{2} </math>
kde:

: <big>\(g\ </math> je gravitační zrychlení v bodě <big>\(r</math>;
: <big>\(r_s\ </math> je Schwarzschildův poloměr gravitace tělesa;
: <big>\(r\ </math> je poloměr;
: <big>\(c\ </math> je [[rychlost světla]] ve vakuu.

Na povrchu [[Země]]:

: <big>\(\frac{9.80665\ \mathrm{m/s}^2}{8.870056\ \mathrm{mm}} \left( \frac{6375416\ \mathrm{m}}{299792458\ \mathrm{m/s}} \right)^2 = \left(1105.59\ \mathrm{s}^{-2} \right) \left(0.0212661\ \mathrm{s}\right)^2 = \frac{1}{2}.</math>

=== Schwarzschildův poloměr v Keplerových orbitách ===
Pro všechny [[Kruhová dráha|kruhové dráhy]] v blízkosti centrálního tělesa:

: <big>\( \frac{r}{r_s} \left( \frac{v}{c} \right)^2 = \frac{1}{2} </math>
kde:
: <big>\(r\!</math> je [[poloměr]] oběžné dráhy;
: <big>\(r_s\!</math> je Schwarzschildův poloměr gravitace centrálního tělesa;
: <big>\(v\!</math> je [[kruhová rychlost]];
: <big>\(c\!</math> je [[rychlost světla]] ve vakuu.

Tato rovnost může být zobecněna do [[Eliptická dráha|eliptické dráhy]] podle:

: <big>\( \frac{a}{r_s} \left( \frac{2 \pi a}{c T} \right)^2 = \frac{1}{2} </math>
kde:
:<big>\(a\!</math> je nejdelší poloměr elipsy (velká poloosa);
:<big>\(T\!</math> je [[doba oběhu]].

Pro [[Země|Zemi]] obíhající [[Slunce]] platí:

: <big>\(\frac{1 \,\mathrm{AU}}{2953.25\,\mathrm m} \left( \frac{2 \pi \,\mathrm{AU}}{\mathrm{light\,year}} \right)^2 = \left(50 655 379.7 \right) \left(9.8714403 \times 10^{-9} \right)= \frac{1}{2}.</math>

=== Relativistické kruhové orbity a sféra fotonů ===
Keplerovské rovnice pro kruhové oběžné dráhy mohou být zjednodušeny do relativistických rovnic pro kruhové dráhy s odpočtem pro časovou dilataci v rychlostním výrazu::

: <big>\( \frac{r}{r_s} \left( \frac{v}{c} \sqrt{1 - \frac{r_s}{r}} \right)^2 = \frac{1}{2} </math>

: <big>\( \frac{r}{r_s} \left( \frac{v}{c} \right)^2 \left(1 - \frac{r_s}{r} \right) = \frac{1}{2} </math>

: <big>\( \left( \frac{v}{c} \right)^2 \left( \frac{r}{r_s} - 1 \right) = \frac{1}{2}.</math>

Konečná rovnice ukazuje, že objekt obíhající rychlostí světla bude mít poloměr oběžné dráhy 1.5 krát Schwarzschildův poloměr. Tato speciální oběžná dráha je známá jako [[sféra fotonů]].

== Externí odkazy ==

{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Relativistická fyzika]]
[[Kategorie:Gravitace]]