Okruh (algebra)

Z Multimediaexpo.cz

Nemáte oprávnění „upravit tuto stránku“. Důvod:

Můžete si prohlédnout a zkopírovat zdrojový kód této stránky:

'''Okruh''' je v [[matematika|matematice]] [[algebraická struktura]] s dvěma [[binární operace|binárními operacemi]] běžně nazývanými [[sčítání]] a [[násobení]]. Přitom sčítání splňuje axiomy [[Abelova grupa|Abelových grup]] a násobení axiomy [[monoid|monoidu]]. Typickým příkladem okruhu je [[množina]] [[celá čísla|celých čísel]] s běžně známými operacemi sčítání a násobení. == Definice okruhu == [[Struktura (logika)|Strukturu]] <big>\(R</math> s nosičem ''R'' a dvěma binárními operacemi '''+''' ([[sčítání]]) a '''·''' ([[násobení]]) na ''R'' nazýváme '''okruh''', platí-li pro všechny prvky ''R'' ''x'', ''y'', ''z'' následující [[axiom]]y: # [[Uzavřená množina vůči operaci|Uzavřenost]] obou operací: ''x'' + ''y'' i ''x'' '''·''' ''y'' jsou prvky ''R''. # [[Asociativita]] sčítání i násobení: (''x'' + ''y'') + ''z'' = ''x'' + (''y'' + ''z''), (''x'' '''·''' ''y'') '''·''' ''z'' = ''x'' '''·''' (''y'' '''·''' ''z''). # Existence [[neutrální prvek|nulového prvku]] ''0''. # Existence [[inverzní prvek|opačného prvku]]: pro každé ''x'' z ''R'' existuje ''y'' z ''R'' tak, že ''x'' + ''y'' = ''0'' = ''y'' + ''x'', značíme ''y'' = −''x''. # [[Komutativita]] sčítání: ''x'' + ''y'' = ''y'' + ''x''. # (Oboustranná) [[distributivita]] násobení ke sčítání: ''x'' '''·''' ( ''y'' + ''z'') = (''x'' '''·''' ''y'') + (''x'' '''·''' ''z''), ( ''y'' + ''z'') '''·''' ''x'' = ( ''y'' '''·''' ''x'') + (''z'' '''·''' ''x''). == Vlastnosti == Množina ''R'' s operací +, tj. (''R'', +), je tedy [[Abelova grupa]]. Množina ''R'' s operací '''·''', tj. (''R'', '''·'''), je tedy [[pologrupa]]. Pokud navíc existuje jednotkový prvek (neutrální při násobení), jedná se o unitární okruh (nebo také okruh s jednotkovým prvkem). Pokud navíc neexistují tzv. [[dělitel nuly|dělitelé nuly]], jedná se o tzv. [[obor]]. Pokud je obor navíc komutativní, jedná se o [[obor integrity]]. Pokud existují v unitárním okruhu [[Inverzní prvek|převrácené prvky]], nazýváme takový okruh [[Těleso (algebra)|těleso]]. Jeho nenulové prvky tvoří tedy s operací násobení [[grupa|grupu]]. == Příklady okruhů == * Obor [[Celé číslo|celých čísel]] <big>\(\scriptstyle \mathbb{Z}</math> * [[Lineární zobrazení]] na <big>\(\scriptstyle \mathbb{R}^n</math> s operací [[sčítání]] a [[Skládání zobrazení|skládání]] tvoří okruh. Obecná [[Zobrazení (matematika)|zobrazení]] však okruh netvoří, neboť není splněn předpoklad distributivity skládání. * [[Triviální okruh]] ''R'' = {0}. Jedná se o jediný okruh takový, že 0 = 1. == Podokruh == ''S'' je neprázdná podmnožina okruhu (''R'', +, '''·''') je '''podokruh''' (S, +, '''·''') okruhu ''R'', právě když pro všechna ''a, b'' z ''S'' do něj patří ''a-b'' i ''a·b''. == Související články == * [[Grupa]] * [[Těleso (algebra)|Těleso]] * [[Obor integrity]] == Externí odkazy == * [http://www.kolej.mff.cuni.cz/~lmotm275/skripta/mzahrad/node21.html Skripta Pěstujeme lineární algebru] * [http://mathworld.wolfram.com/Ring.html Okruh na MathWorld (anglicky)] * [http://mathworld.wolfram.com/Subring.html Podokruh na MathWorld (anglicky)] {{Článek z Wikipedie}} [[Kategorie:Algebraické struktury]]

Návrat na stránku „Okruh (algebra)“.