Eulerova–Lagrangeova rovnice

Z Multimediaexpo.cz

Nemáte oprávnění „upravit tuto stránku“. Důvod:

Můžete si prohlédnout a zkopírovat zdrojový kód této stránky:

'''Eulerova-Lagrangeova rovnice''' se také často nazývá '''Eulerova rovnice''' nebo '''[[Lagrangeova rovnice]]''', protože na této rovnici pracovali Leonhard Euler a Joseph Louis Lagrange současně okolo roku 1755. V&nbsp;oboru [[:Kategorie:Variační počet|variačního počtu]] se jedná o [[diferenciální rovnice|diferenciální rovnici]] umožňující nalezení extrému [[funkcionál]]u a obvykle bývá užívána při [[Optimalizace (matematika)|optimalizaci]] a v [[mechanika|mechanice]] pro odvozování [[pohybová rovnice|pohybových rovnic]] různých objektů. == Popis problému optimalizace == Je zadána tzv. Lagrangeova funkce ([[lagrangián]]) ''F'' tří proměnných, která má spojité první [[parciální derivace]], do níž je dosazena funkce ''y(x)'', :<math> F \left( x, y(x), y'(x) \right) </math>. Aby funkce ''y(x)'' představovala [[Extrém funkce|extremálu]] následujícího [[funkcionál]]u ''J'', :<math> J = \int_a^b F(x, y(x), y'(x)) \, \mathrm{d}x </math>, musí funkce ''y(x)'' být řešením následující [[obyčejné diferenciální rovnice]] zvané ''Eulerova-Lagrangeova rovnice''. :<math> \frac{\partial F}{\partial y} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\partial F}{\partial y'} = 0 </math> === Příklad: „Nejlevnější cesta“ === Úkolem je najít extrém následujícího funkcionálu ''J'' při splnění uvedených vazebních ([[Okrajové podmínky|okrajových]]) podmínek. :<math> J = \int_0^1 \left[ y'(x)^2 + 12 x y(x) \right] \, \mathrm{d}x </math> :<math> y(0) = 0 </math> :<math> y(1) = 1 </math> V podstatě hledáme takovou [[trajektorie|trajektorii]] (množinu bodů <math>[x;y(x)]</math>) z bodu [0;0] do bodu [1;1], aby daný [[určitý integrál]], který závisí na této křivce, byl minimální.<br />Lze si také představit, že funkce <math>F(x,y,y') = y'^2+12xy</math> představuje „penalizaci“ v závislosti na poloze a směru, přičemž úkolem je dostat se do cíle „co nejlevněji“. Dosazením funkce ''F'' do Eulerovy-Lagrangeovy rovnice odvodíme následující [[Obyčejné diferenciální rovnice|obyčejnou diferenciální rovnici]] (lineární nehomogenní 2. řádu). :<math> 12x - 2y'' = 0 </math> Získanou rovnici můžeme snadno vyřešit dvojnásobnou integrací: :<math> y'' = 6x </math>, :<math> y' = 3x^2 + c_1 </math>, :<math> y = x^3 + c_1 x + c_2 </math>. Hodnotu integračních konstant ''c''₁ a ''c''₂ vypočteme z okrajových podmínek <math> y(0) = 0 </math> a <math> y(1) = 1 </math> a získáme tak hledanou funkci <math> y(x) </math>. :<math> c_1 = 0 </math> :<math> c_2 = 0 </math> :<math> y(x) = x^3 </math> == Související články == * [[Lagrangeovská formulace mechaniky]] == Externí odkazy == * Významní matematikové v historii (3), Euler + Lagrange: https://web.archive.org/web/20070607010012/http://natura.eri.cz/natura/2002/4/20020405.html * Variační počet: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~prazak/vyuka/MAF042/kap19.pdf * Prezident, prázdný talíř, Lagrangeovy rovnice a tak vůbec: http://www-ucjf.troja.mff.cuni.cz/~dolejsi/talir.pdf * Vačkový mechanismus: https://web.archive.org/web/20090619023651/http://www.spszr.cz/~blazicek/Projekt/vack_mech/vacky.htm {{Článek z Wikipedie}} [[Kategorie:Variační počet]] [[Kategorie:Teoretická mechanika]] [[Kategorie:Dynamika]]

Návrat na stránku „Eulerova–Lagrangeova rovnice“.